Một đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) có phương trình tiếp tuyến tại \(x=-2\) là \(y=5x-3\). Tìm \(f'\left(-2\right)\&f\left(-2\right)\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn: \(\left[f\left(1+2x\right)\right]^3=8x-\left[f\left(1-x\right)\right]^2\), ∀x∈R. viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Cho hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x-1$ có đồ thị là đường cong $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng $1$.
Ta có y′=3x2−6x+1y′=3x2−6x+1.
Gọi M(x0;y0)M(x0;y0) là tiếp điểm.
Ta có x0=1x0=1 do đó y0=13−3.12+1−1=−2y0=13−3.12+1−1=−2 ;
y′(1)=3.12−6.1+1=−2y′(1)=3.12−6.1+1=−2.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 11 là y=y′(1)(x−1)+(−2)⇒y=−2x
(1,5 điểm) Cho hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x-1$ có đồ thị là đường cong $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng $1$.
\(f'\left(x\right)=3x^2-6x+1\Rightarrow f'\left(1\right)=-2\)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
\(\Delta:y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)\Rightarrow y=\left(-2\right)\left(x-1\right)-2\)
Ta có y'=3x^2 - 6x +1
gọi M(x0;y0) là tiếp điểm
Ta có x0 =1 do đó yo =1^3 -3.1^2+1-1=-2
y'(1)=3.1^2-6.1+1=-2
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 là y=y'(1)(x-1)+(-2)=>y=-2x
Ta có .
Gọi là tiếp điểm.
Ta có do đó ;
.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng là
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm liên tục trên R, thỏa mãn: \(2f\left(2x\right)+f\left(1-2x\right)=12x^2\). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x=1\) là:
A. \(y=4x-2\)
B. \(y=2x+2\)
C. \(y=2x-6\)
D. \(y=4x-6\)
Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+3$ có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ ${{x}_{0}}=1$.
có:
+) đạo hàm của f(x) = f'(x) = 3x2
+) phương trình tiếp tuyến là : y= f'(x).(x-x0) + f(x0)
=> y = 3x2.(x-1) + 13 + 3 = 3x3 - 3x2 + 4
=-=-=--=-=-=--0-=-09876543w3er567890-=-0987654e3wq
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 3\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( { - 1;6} \right) \in \left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\).
Ta có: \(f'\left(x\right)=2x-2\Rightarrow f'\left(-1\right)=2\cdot\left(-1\right)-2=-4\)
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M là:
\(y=f'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)=-4\left(x+1\right)+6=-4x+2\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\dfrac{x-2}{x+1}\) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt 2 đường thẳng d1:x=-1 và d2:y=1 lần lượt tại A, B sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB là lớn nhất.
y=f(x) xác định có đạo hàm trên R thỏa mãn : \(\left[f\left(1+2x\right)\right]^2=x-\left[f\left(1-x\right)\right]^3\) . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x =1 .
Lời giải:
Thay $x=0$ vào điều kiện đề thì $f(1)=0$ hoặc $f(1)=-1$
Đạo hàm 2 vế:
$4f(2x+1)f'(2x+1)_{2x+1}=1+3f(1-x)^2f'(1-x)_{1-x}$
Thay $x=0$ vô thì:
$4f(1)f'(1)=1+3f(1)^2f'(1)$
Nếu $f(1)=0$ thì hiển nhiên vô lý
Nếu $f(1)=-1$ thì: $-4f'(1)=1+3f'(1)\Rightarrow f'(1)=\frac{-1}{7}$
PTTT tại $x=1$ có dạng:
$y=f'(1)(x-1)+f(1)=\frac{-1}{7}(x-1)-1=\frac{-x}{7}-\frac{6}{7}$
Cho \(\left( C \right)\) là đồ thị của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\) và điểm \(M\left( {1;1} \right) \in \left( C \right)\). Tính hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) và viết phương trình tiếp tuyến đó.
Ta có: \({\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}}\) nên tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) có hệ số góc là: \(f'\left( 1 \right) = - \frac{1}{{{1^2}}} = 1\)
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) là: \(y - 1 = 1\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = x\).
Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị (C) và điểm \(P\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) \in \left( C \right).\) Xét điểm \(Q\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) thay đổi trên (C) với \(x \ne {x_0}.\)
a) Đường thẳng đi qua hai điểm P, Q được gọi là một là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc kPQ của cát tuyến PQ.
b) Khi \(x \to {x_0}\) thì vị trí của điểm \(Q\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào?
c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà kPQ có giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?
a, Hệ số góc của cát tuyến PQ là \(k_{PQ}=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\)
b, Khi \(x\rightarrow x_0\) thì vị trí của điểm \(Q\left(x;f\left(x\right)\right)\) trên đồ thị (C) sẽ tiến gần đến điểm \(P\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)\) và khi \(x=x_0\) thì hai điểm này sẽ trùng nhau.
c, Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà \(k_{PQ}\) có giới hạn hữu hạn k thì cát tuyến PQ cũng sẽ tiến đến gần vị trí tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm P. Vì vậy, giới hạn của cát tuyến QP sẽ là đường thẳng tiếp tuyến tại điểm P