Bài 3: 

a) Ta có: \(C=2+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

\(=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+\left(2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}\right)+...+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)

\(=2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(=31\cdot\left(2+2^6+...+2^{96}\right)⋮31\)(đpcm)

Bài 1: 

Ta có: \(A=3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(=3^n\cdot9-2^n\cdot4+3^n-2^n\)

\(=3^n\left(9+1\right)-2^n\left(4+1\right)\)

\(=10\left(3^n-2^{n-1}\right)⋮10\)

Vậy: A có chữ số tận cùng là 0

Bài 2: 

Ta có: \(abcd=1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+d\)

\(\Leftrightarrow abcd=1000\cdot a+96\cdot b+8c+2c+4b+d\)

\(\Leftrightarrow abcd=8\left(125a+12b+c\right)+\left(2c+4b+d\right)\)

mà \(8\left(125a+12b+c\right)⋮8\)

và \(2c+4b+d⋮8\)

nên \(abcd⋮8\)(đpcm)

a, Ta có:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 99 + 2 100

=  2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 +...+ 2 96 + 2 97 + 2 98 + 2 99 + 2 100

= 2. 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +...+ 2 96 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4

=  2 . 31 + 2 6 . 31 + . . . + 2 96 . 31

=  2 + 2 6 + . . . + 2 96 . 31  chia hết cho 31

b, Ta có:

5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 + . . . + 5 149 + 5 150

=  5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 + . . . + 5 149 + 5 150

=  5 1 + 5 + 5 3 1 + 5 + 5 5 1 + 5 + . . . + 5 149 1 + 5

=  5 . 6 + 5 3 . 6 + 5 5 . 6 + . . . + 5 149 . 6

=  ( 5 + 5 3 + 5 5 + . . . + 5 149 ) . 6  chia hết cho 6

Ta lại có:

5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 + . . . + 5 149 + 5 150

=  5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 +...+ 5 145 + 5 146 + 5 147 + 5 148 + 5 149 + 5 150  (có đúng 25 nhóm)

=  [ ( 5 + 5 4 ) + ( 5 2 + 5 5 ) + ( 5 3 + 5 6 ) ] + ... +  [ 5 145 + 5 148 ) + ( 5 146 + 5 149 ) + ( 5 147 + 5 150 ]

=  [ 5 ( 1 + 5 3 ) + 5 2 ( 1 + 5 3 ) + 5 3 ( 1 + 5 3 ) ] + ... +  [ 5 145 1 + 5 3 ) + 5 146 ( 1 + 5 3 ) + 5 147 ( 1 + 5 3 ]

=  ( 5 . 126 + 5 2 . 126 + 5 3 . 126 ) + ... +  ( 5 145 . 126 + 5 146 . 126 + 5 147 . 126 )

=  ( 5 + 5 2 + 5 3 ) . 126 +  ( 5 7 + 5 8 + 5 9 ) . 126 +  ... + ( 5 145 + 5 146 + 5 147 ) . 126

= 126.[ ( 5 + 5 2 + 5 3 ) + ( 5 7 + 5 8 + 5 9 ) + ... +  ( 5 145 + 5 146 + 5 147 ) ] chia hết cho 126.

Vậy  5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 + . . . + 5 149 + 5 150  vừa chia hết cho 6, vừa chia hết cho 126

Chịu 🤭🤭🤭

Phần a:

Có 100 số tự nhiên chia làm 20 nhóm từ trái sang phải mỗi nhóm năm số.

\(C=2.\left(1+2+4+8+16\right)+2^6.\left(1+2+4+8+16\right)+...+2^{96}.\left(1+2+4+8+16\right)\)

\(C=2.31+2^6.31+2^{11}.31+...+2^{96}.31\)

=> C chia hết cho 31.

Chúc em học tốt^^

\(2.C=2^2+2^3+....+2^{101}\)

\(=>2C-C=C=2^2-2^2+2^3-2^3+....+2^{100}-2^{100}+2^{101}-2\)

\(C=2^{101}-2\)

Do đó 2x-1=101

=>x=51

Chúc em học tốt^^

C= (2+2^2+2^3+2^4+2^5)+..............+(2^96+2^97+2^98+2^99+2^100)

=62+..............+2^95.62

=62.(1+......+2^95) chia hết cho 31 vì 62 chia hết cho 31

2C=2^2+2^3+.........+2^101

2C -C=C= 2^201 -2

ta có 2^(2x-1) -2=2^101-2= C=>2x-1 =101=> x=51

\(B=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{99}+2^{100}=2\left(1+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2^2+2^3+2^4\right)=2.31+2^6.31+...+2^{96}.31=31\left(2+2^6+...+2^{96}\right)⋮31\)

B=2+22+23+24+...+299+2100=2(1+22+23+24)+...+296(1+22+23+24)=2.31+26.31+...+296.31=31(2+26+...+296)⋮31

a)\(C=2+2^2+2^3+....+2^{100}\)

\(=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+2^5\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+...+2^{95}\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)\)

\(=62+2^5.62+...+2^{95}.62=62\left(1+2^5+...+2^{95}\right)=31.2\left(1+2^5+....+2^{95}\right)⋮31\)

\(\Rightarrow C⋮31\)

=>đccm

\(C=2+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

\(C=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+....+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)

\(C=2.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+....+2^{96}.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(C=31.2+.....+2^{96}.31=31.\left(2+....+2^{96}\right)⋮31\)

Suy ra \(C⋮31\)

b) Ta có \(2.C=2^2+2^3+2^4+....+2^{99}+2^{100}+2^{101}\)

Suy ra \(2.C-C=2^{101}-2\)hay \(C=2^{101}-2\)

Khi đó \(2^{2x-1}-2=2^{101}-2\)

\(\Rightarrow2^{2x-1}=2^{101}\)

\(\Rightarrow2x-1=101\Rightarrow2x=100\Rightarrow x=50\)

Vậy x = 50

a)Ta có: C=2+2²+2³+...+2¹⁰⁰                                                                                                                                                                                         C=1.(2+2²+2³+2⁴+2⁵)+2⁵.(2+2²+2³+2⁴+2⁵)+...+2⁹⁵.(2+2²+2³+2⁴+2⁵)                                                                                                            C=2.31+2⁵.2.31+...+2⁹⁵.2.31                                                                                                                                                                              C=31(2+2.2⁵+...+2.2⁹⁵)                                                                                                                                                                                     =>C chia hết cho 31                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

a)C=2+2²+2³+...+2¹⁰⁰

     =2.(1+2+4+8+16)+2⁶.(1+2+4+8+16)+...+2⁹⁶.+(1+2+4+8+16)  

     =2.31+2⁶.31+...+2⁹⁶.31

     =31.(2+2⁶+...+2⁹⁶) chia hết cho 31

C chia hết cho 31

Giaỉ 

a, C = 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰

C = ( 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ ) + ( 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰ ) + ... + ( 2⁹⁶ + 2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ )

C = 2( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + 2⁶( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + ... + 2⁹⁶( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ )

C = 2 . 31 + 2⁶ . 31 + ... + 2⁹⁶ . 31

C = 31( 2 + 2⁶ +... + 2⁹⁶ ) chia hết cho 31

=> C chia hết cho 31.

b, C = 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰ 

2 x C = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰¹

2 x C - C = ( 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰¹ ) - ( 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰ )

C = ( 2¹⁰¹ - 2 ) : 2

A=2+22+23+...+299+2100A=2+22+23+...+299+2100

⇒2A=22+23+24+...+2100+2101⇒2A=22+23+24+...+2100+2101

⇒A=2101−2⇒A=2101−2

B=3+32+33+...+399+3100B=3+32+33+...+399+3100

⇒3B=32+33+34+...+3100+3101⇒3B=32+33+34+...+3100+3101

⇒2B=3101−3⇒2B=3101−3

⇒B=3101−32