Cho a,b là 2 số dương có tổng bằng 1.Chứng minh
\(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}\)≥\(\dfrac{4}{3}\)
cho a,b là các số dương. Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\)≥\(\dfrac{4}{a+b}\)
-Áp dụng BĐT Caushy Schwarz cho các cặp số dương (1,1) ở tử và (a,b) ở mẫu ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{a+b}\)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\).
-Hoặc có thể c/m bằng phép biến đổi tương đương:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)ab.\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}.\left(a+b\right)ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Tìm m để phương trình \(\dfrac{2}{x-m}-\dfrac{5}{x+m}=1\)( x là ẩn số ) có 1 nghiệm bằng 3. Tổng các giá trị m tìm được bằng :
Thay x=3 vào pt ta có:
\(\dfrac{2}{x-m}-\dfrac{5}{x+m}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{2}{3-m}-\dfrac{5}{3+m}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{2\left(3+m\right)-5\left(3-m\right)}{\left(3-m\right)\left(3+m\right)}=1\\ \Rightarrow6+2m-15+5m=3^2-m^2\\ \Leftrightarrow-9+7m-9+m^2-0\\ \Leftrightarrow m^2+7m-18=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-9\end{matrix}\right.\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 +b2 +c2) = a+b+c+3. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{\sqrt{a^4+a^2+1}}\)+ \(\dfrac{1}{\sqrt{b^4+b^2+1}}\)+ \(\dfrac{1}{\sqrt{c^4+c^2+1}}\) \(\ge\sqrt{3}\)
mng giúp mình nhé, cảm ơnn
Câu hỏi nhóm BGS số 3 - lớp 8:
Cho 4 số nguyên dương a,b,c,d trong đó tổng ba số bất kì chia cho số còn lại đều có thương là một số nguyên khác 1. Chứng minh rằng trong bốn số a, b, c, d tồn tại hai số bằng nhau.
Bài 1:Cho biểu thức \(A=\dfrac{x^3}{x^2-4}-\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2}{x+2}\)
a)Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức A được xác định.
b)Tìm giá trị của x để A=0
c)Tìm giá trị của x để A nhận giá trị dương.
Bài 2:Có 270 học sinh khối 7 và khối 8 tham gia lao động trồng cây.Tính số học sinh tham gia lao động trồng cây.Tính số học sinh tham gia lao động của mỗi khối ,biết rằng \(\dfrac{3}{4}\) số học sinh khối 7 bằng 60% số học sinh khối 8.
Bài 3:Cho tam giác vuông ABC(\(\widehat{A}=90^0\)) có AB=30cm,AC=40cm,AE= là đường cao và BD là phân giác của tam giác.Gọi F là giao điểm của AE và BD.
a)Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác EBA.
b)Chứng minh \(BD\times EF=BF\times AD.\)
c)Tính AD.
d)Chứng minh \(\dfrac{FA}{FE}=\dfrac{DC}{DA}\)
Bài 4:Cho \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\).Chứng minh:\(xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)=3\)
4
ta có : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{-1}{z}\)
Ta có: \(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{1}{x^3}+3\times\dfrac{1}{x^2}\times\dfrac{1}{y}+3\times\dfrac{1}{x}\times\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{y^3}-3\times\dfrac{1}{x^2}\times\dfrac{1}{y}-3\times\dfrac{1}{x}\times\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^3-3\times\dfrac{1}{xy}\times\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{1}{z^3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\left(\dfrac{-1}{z}\right)^3-3\times\dfrac{1}{xy}\times\left(\dfrac{-1}{z}\right)+\dfrac{1}{z^3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=-\dfrac{1}{z^3}+3\times\dfrac{1}{xyz}+\dfrac{1}{z^3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\Leftrightarrow xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)=3\)(ĐPCM)
Câu 1: Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bat ki là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương
Câu 2: Cho tua Oa.Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bo là Oa. Vẽ hai tia Ob và Oc sao cho hai góc aOb và aOc cùng bằng 120°.Chứng minh rằng:
a, aOb=aOc=bOc.
b, Tia Oa'là tia đối của tia Oa, chứng tỏ tia Oa' là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Ob và Oc.
(Vẽ hình và trả lời trình tự nhé , giải nhanh giùm cái đang gấp rút)
a) Trong phép chia cho 2 số dư có thể bằng 0 và 1. Trong mỗi phép chia cho 3, cho 4, cho 5, số dư có thể bằng bao nhiêu?
b) Dạng tổng quát của số chia hết cho 2 là 2k, dạng tổng quát của số chia cho 2 dư 1 là 2k+1 với k thuộc N. Hãy viết dạng tổng quát của số chia hết cho số chia cho 3 dư 1, số chia cho 3 dư 2
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{a+c}\)
\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\) ( Svac-xơ, Cauchy các kiểu -,- )
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}}{2}=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\) ( đpcm )
...
\(2VP=\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\)
\(\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2VT\)
Từ đây,ta có: \(2VT\ge2VP\Rightarrow VT\ge VP^{\left(đpcm\right)}\)
Cho a,b,cần là các số thực dương và a+b+c lớn hơn hoặc bằng 3. Chứng minh rằng
1/(1+a)+1/(1+biết)+1/(1+c)lớn hơn hoặc bằng 3/2
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+a+b+c+}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Cái đó chỉ đúng khi 1/1+a=1/1+b=1/1+c thoi