Ta có
\(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right).\left(2n+3\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+...+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2n+3}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{2n+2}{2n+3}\)
\(=\frac{2n+2}{4n+6}=\frac{2\left(n+1\right)}{2\left(2n+3\right)}=\frac{n+1}{2n+3}\)
\(\RightarrowĐPCM\)

a/ước chung là 3

b/ước chung là 1

mk chỉ làm mẫu 2 câu thôi còn bạn tự làm đi 

a) \(A=1+3+5+7+...+199\)

Số lượng số hạng:

\(\left(199-1\right):2+1=100\) (số hạng)

Tổng A là:

\(\left(199+1\right)\cdot100:2=10000\)

b) \(B=1+3+5+...+\left(2n-1\right)\)

Số lượng số hạng:

\(\left[\left(2n-1\right)-1\right]:2+1\)

\(=\left(2n-1-1\right):2+1\)

\(=2\left(n-1\right):2+1\)

\(=n-1+1\)

\(=n\)

Tổng B là:

\(\left[\left(2n-1\right)+1\right]\cdot n:2\)

\(=\left(2n-1+1\right)\cdot n:2\)

\(=2n\cdot n:2\)

\(=n^2\)

a: Số số hạng là (199-1)/2+1=100(số)

Tổng là (199+1)*100/2=100^2=10000

b: Số số hạng là (2n-1-1):2+1=n(số)

Tổng là (2n-1+1)*n/2=2n^2/2=n^2

a
=(199+1) . [(199-1).2+1] : 2
=200 . 100 :2
=10000
b.
=(2n-1+1) . [(2n-1-1):2+1] : 2
=2n . [(2n-2):2+1] :2
=n . [(2n-2) : 2 + 2/2]
=n. (2n-2 +2) : 2
=n. 2n :2
=n.n=n²

khó

a) \(5^{n+3}-5^{n+1}=5^{12}.120\Leftrightarrow5^{n+1}.\left(5^2-1\right)=5^{12}.5.24\)

\(\Leftrightarrow24.5^{n+1}=5^{13}.24\Leftrightarrow5^{n+1}=5^{13}\Leftrightarrow n+1=13\Leftrightarrow n=12\)

b) \(2^{n+1}+4.2^n=3.2^7\)

\(\Leftrightarrow2^n\left(2+4\right)=3.2^7\Leftrightarrow6.2^n=3.2^7\Leftrightarrow2^n=2^6\Leftrightarrow n=6\)

c) \(3^{n+2}-3^{n+1}=486\)

\(\Leftrightarrow3^{n+1}.\left(3-1\right)=486\Leftrightarrow2.3^{n+1}=486\Leftrightarrow3^{n+1}=243\)

\(\Leftrightarrow3^n=243:3=81=3^3\Leftrightarrow n=3\)

d) \(3^{2n+3}-3^{2n+2}=2.3^{10}\)

\(\Leftrightarrow3^{2n+2}.\left(3-1\right)=2.3^{10}\)

\(\Leftrightarrow3^{2n+2}.2=2.3^{10}\Leftrightarrow3^{2n+2}=3^{10}\Leftrightarrow2n+2=10\Leftrightarrow2n=8\Leftrightarrow n=4\)

Áp dụng công thức tính dãy số : [( số cuối - số đầu ) : khoảng cách + 1] x ( số cuối + số đầu) : 2

Ta có :

a) 1 + 2 + 3 + 4 + ..... + n = [ ( n - 1) : 1 + 1 ] x ( n + 1) : 2 = n x ( n + 1) : 2

có ai ko giúp mik vs

b) Từ 1 đến ( 2n - 1 ) có số số hạng là :  ( 2n + 1 - 1 ) : 2 + 1 =  2n : 2 +1 = n + 1 ( số hạng ) 

=> 1 + 3 + 5 + 7 + ... + ( 2n + 1 ) 

= (n+1).(2n+1+1) : 2 

= (n + 1) . (2n+2) : 2 

= (n+1).(n+1).2:2

=n+1).(n+1) 

= ( n + 1 )\(^2\)