Giải:
Kẻ OI là tia phân giác của \(\widehat{AOC}\)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A}+60^o+\widehat{C}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{C}=120^o\)

Ta có: \(\frac{1}{2}\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)=\frac{1}{2}.120^o\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\widehat{A}+\frac{1}{2}\widehat{C}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}+\widehat{C_1}=60^o\)

Xét \(\Delta AOC\) có: \(\widehat{A_1}+\widehat{C_1}+\widehat{AOC}=180^o\)

\(\Rightarrow60^o+\widehat{AOC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BOC}=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{O_2}=\widehat{O_3}\left(=\frac{1}{2}\widehat{AOC}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{O_2}=\widehat{O_3}=60^o\)

Ta có: \(\widehat{O_4}=\widehat{A_1}+\widehat{C_1}\) ( góc ngoài \(\Delta AOC\) )

\(\Rightarrow\widehat{O_4}=60^o\)

\(\widehat{O_1}=\widehat{A_1}+\widehat{C_1}\) ( góc ngoài \(\Delta AOC\)

\(\Rightarrow\widehat{O_1}=60^o\)

Xét \(\Delta EOA,\Delta IOA\) có:

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(=\frac{1}{2}\widehat{A}\right)\)

AO: cạnh chung

\(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\left(=60^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta EOA=\Delta IOA\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow OE=OI\) ( cạnh t/ứng ) (1)

Xét \(\Delta DOC,\Delta IOC\) có:
\(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\left(=\frac{1}{2}\widehat{C}\right)\)

OC: cạnh chung

\(\widehat{O_3}=\widehat{O_4}\left(=60^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta DOC=\Delta IOC\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow OD=OI\) ( cạnh t/ứng ) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow OE=OD\left(=OI\right)\)

Vậy \(OE=OD\)

rước hết bạn cần biết bổ đề sau: " Trong 1 tam giác vuông, có 1 góc bằng 30 độ thì cạnh góc vuông đối diện với góc 30độ bằng nửa cạnh huyền " - phần chứng minh xin nhường lại cho bạn, gợi ý là vẽ thếm trung tuyến ứng với cạnh huyền để chứng minh 
Kẻ BH ⊥ AC tại H. 
Xét tam giác ABH có góc BHA = 90độ (cách kẻ) 
=> góc ABH + góc BAH = 90độ (phụ nhau) => góc ABH = 90độ - góc BAH = 90độ - 60độ = 30độ => góc ABH = 30độ 
Xét tam giác ABH có góc BHA = 90độ và góc ABH = 30độ 
=> Theo bổ đề trên ta có: AH = AB/2 => 2AH = AB (1) 
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: 
AB² = BH² + AH² 
=> BH² = AB² - AH² (2) 
Xét tam giác BHC có góc BHC = 90độ (cách kẻ) 
=> Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: 
BC² = BH² + HC² = BH² + (AC - AH)² = BH² + AC² - 2AH.AC + AH² (3) 
Thay (1) và (2) vào (3) ta có: 
BC² = (AB² - AH²) + AC² - AB.AC + AH² 
<=> BC² = AB² - AH² + AC² - AB.AC + AH 
<=> BC² = AB² + AC² - AB.AC 

Xét ΔDAC có góc DAC=góc DCA

nên ΔDAC cân tại D

=>M là trung điểm của AC

Tham khảo:

refer

1: \(BC=\sqrt{18^2+24^2}=30\left(cm\right)\)

2: Xét ΔABC vuông tại A và ΔIEC vuông tại I có

góc C chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔIEC

b: 

IC=BC/2=15cm

ΔABC đồng dạng với ΔIEC
=>AB/IE=BC/EC=AC/IC

=>18/IE=30/EC=24/15=8/5

=>IE=11,25cm; EC=18,75cm

1: \(BC=\sqrt{18^2+24^2}=30\left(cm\right)\)

2: Xét ΔABC vuông tại A và ΔIEC vuông tại I có

góc C chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔIEC

b: 

IC=BC/2=15cm

ΔABC đồng dạng với ΔIEC
=>AB/IE=BC/EC=AC/IC

=>18/IE=30/EC=24/15=8/5

=>IE=11,25cm; EC=18,75cm

1) Chứng minh: ΔABD = ΔEBD

Xét  ΔABD và ΔEBD, có:

BD là cạnh huyền chung (gt)

Vậy ΔABD = ΔEBD  (cạnh huyền – góc nhọn)

2) Chứng minh: ΔABE là tam giác đều.

ΔABD = ΔEBD (cmt)

AB = BE

mà  góc B = 60 độ  (gt)

Vậy  ΔABE có  AB = BE và góc 60 độ  nên ΔABE đều.

3) Tính độ dài cạnh BC

Ta có  (gt)

Góc C+B = 90 độ(ΔABC vuông tại A)

Mà BEA = góc B = 60 độ (ΔABE  đều)

Nên góc EAC = góc C ΔAEC cân tại E

EA = EC mà EA = AB = EB = 5cm

Do đó EC = 5cm

Vậy BC = EB + EC = 5cm + 5cm = 10cm