Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho : \(\left(n!\right)^n⋮\left(n^2-1\right)!\) ( KS CL HSG tỉnh Vĩnh Phúc)
\(\text{Tìm tất cả các cặp số nguyên dương }\left(k;n\right)\text{sao cho}:\)
\(k!=\left(2^n-1\right)\left(2^n-2\right)\left(2^n-4\right)...\left(2^n-2^{n-1}\right)\)
a, CMR nếu n là số nguyên dương thì \(2\left(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013}\right)\) chia hết cho \(n\left(n+1\right)\)
b, Tìm tất cả các số nguyên tố p,q tm đk \(p^2-2q^2=1\)
A) Vì 2013 là số lẻ nên (\(1^{2013}+2^{2013}\)+....\(n^{2013}\)): (1+2+...+n)
Hay( \(1^{2013}+2^{2013}\)+\(3^{2013}\)+......\(n^{2013}\)) :\(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)
=>2(\(1^{2013}+2^{2013}\)+\(3^{2013}\)+......\(n^{2013}\)):n(n+1)(đpcm)
B)
Do 1 lẻ , \(2q^2\) chẵn nên p lẻ
p2−1⇔\(2q^2\)(p−1)(p+1)=\(2q^2\)
p lẻ nên p−1 và p+1đều chẵn ⇒(p−1)(p+1)⋮4
⇒\(q^2\):2 =>q:2 =>q=2
⇒\(q^2\)=2.2\(^2\)+1=9=>q=3
Chắc đúng vì hôm trước cô mik giải thik va, Vì 2013 là số lẻ nên (\(^{1^{2013}+2^{2013}+...n^{2013}}\))⋮(1+2+...+n)
=>\(\left(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013}\right)\)⋮\(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)
=>\(2\left(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2003}\right)\)⋮n(n+1)
đpcm
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left(k,n\right)\) sao cho : \(k!=\left(2^n-1\right)\left(2^n-2\right)\left(2^n-4\right)...\left(2^n-2^{n-1}\right)\).
(Nguồn : Bài 4 Olympic Toán học Quốc tế IMO 2019 - Cuộc thi dành cho HS cấp THPT)
Tìm tất cả các số nguyên tố p q ,và số nguyên dương n thỏa mãn:
\(p\left(p+3\right)+q\left(q+3\right)=n\left(n+3\right)\)
Tìm tất cả các số nguyên dương m,n thỏa mãn: \(n^2+n+1=\left(m^2+m-3\right)\left(m^2-m+5\right)\)
Làm thử theo cách cổ truyền vậy -.-
Ta có : \(n^2+n+1=\left(m^2+m-3\right)\left(m^2-m+5\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2+n+1=m^4+m^2+8m-15\)
\(\Leftrightarrow n^2+n+16-m^4-m^2-8m=0\)
Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn n
Ta có : \(\Delta=4m^4+4m^2+32m-63\)
Pt có nghiệm nguyên khi \(\Delta\)là 1 số chính phương
Ta có \(\Delta=4m^4+4m^2+32m-63=\left(2m^2+2\right)^2-4\left(m-4\right)^2-3< \left(2m^2+2\right)^2\)
Giả sử m > 2 thì\(\Delta=\left(2m^2+1\right)^2+32\left(m-2\right)>\left(2m^2+1\right)^2\forall m>2\)
Khi đó \(\left(2m^2+1\right)^2< \Delta< \left(2m^2+2\right)^2\)
Như vậy \(\Delta\)không phải số chính phương (Vì giữa 2 số chính phương liên tiếp ko còn scp nào nữa)
Nên điều giả sử là sai .
Tức là\(m\le2\)
Mà \(m\inℕ^∗\)
\(\Rightarrow m\in\left\{1;2\right\}\)
*Với m = 1 thì pt ban đầu trở thành
\(n^2+n+1=\left(1+1-3\right)\left(1-1+5\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2+n+1=-5\)
\(\Leftrightarrow\left(n+\frac{1}{2}\right)^2=-\frac{23}{4}\)
Pt vô nghiệm
*Với m = 2 thì pt ban đầu trở thành
\(n^2+n+1=\left(2^2+2-3\right)\left(2^2-2+5\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2+n+1=21\)
\(\Leftrightarrow n^2+n-20=0\)
\(\Leftrightarrow\left(n-4\right)\left(n+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow n=4\left(Do\text{ }n\inℕ^∗\right)\)
Vậy pt ban đầu có nghiệm nguyên dương duy nhất (m;n) = (2;4)
Giúp : Cho \(\Delta\)ABC nhọn nội tiếp (O) , D là điểm trên cung BC không chứa A . Dựng hình bình hành ADCE . Gọi H , K là trực tâm của tam giác ABC , ACE ; P , Q là hình chiếu vuông góc của K trên các đường thẳng BC , AB và I là giao EK , AC
CMR: a,P ; I ; Q thẳng hàng
b, đường thẳng PQ đi qua trung điểm HK
Tìm tất cả các số nguyên dương m và n thỏa mãn điều kiện: \(n^2+n+1=\left(m^2+m-3\right)\left(m^2-n+5\right)\)
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho \(\left(n-2\right)!\)không chia hết cho \(n^2\)
Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng \(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}-1\left(n\ge1\right)\)
TH1: \(n\) chẵn \(\Rightarrow n=2k\) (với \(k\in N\)*)
\(p=\dfrac{2k\left(2k+1\right)}{2}-1=2k^2+k-1=\left(k+1\right)\left(2k-1\right)\)
Do \(k+1\ge2>1\) nên p nguyên tố khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}2k-1=1\\k+1\text{ là số nguyên tố}\end{matrix}\right.\)
\(2k-1=1\Rightarrow k=1\)
Khi đó \(p=2\) (thỏa mãn)
TH2: \(n\) lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\) (với \(k\in N\))
\(p=\dfrac{\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)}{2}-1=\left(2k+1\right)\left(k+1\right)-1=2k^2+3k=k\left(2k+3\right)\)
Do \(2k+3\ge3>1\) nên p là nguyên tố khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}k=1\\2k+3\text{ là số nguyên tố}\end{matrix}\right.\)
Khi \(k=1\Rightarrow p=5\) là số nguyên tố (thỏa mãn)
Vậy \(p=\left\{2;5\right\}\)
1. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: P = 1! + 2! + 3! + ... + n! là số chính phương
2. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương bất kì thì:
\(A=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1,65\)
3. Tìm tất cả các số tự nhiên không là tổng của 2 hợp số.
4. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : \(\left(x+2003\right)\left(x+2005\right).4^y=3025\)