Đặt: \(f\left(x\right)=\left(m^2-3m-4\right)x^2-2\left(m-4\right)x+3\).

Khi \(\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=4\end{matrix}\right.\) thì \(\left[{}\begin{matrix}f\left(x\right)=10x+3\\f\left(x\right)=-12x+3\end{matrix}\right.\). Dễ thấy \(f\left(x\right)< 0\) luôn có nghiệm.

Khi \(m\notin\left\{-1;4\right\}\)

Để \(f\left(x\right)< 0\) vô nghiệm thì \(f\left(x\right)\ge0\forall x\in R\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-3m-4\ge0\\\Delta'=\left[-\left(m-4\right)\right]^2-\left(m^2-3m-4\right)\cdot3< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\le-1\\m\ge4\end{matrix}\right.\\-2m^2+m+28< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\le-1\\m\ge4\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}m< -\dfrac{7}{2}\\m>4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -\dfrac{7}{2}\\m>4\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(f\left(x\right)< 0\) vô nghiệm khi \(m\in\left(-\infty;-\dfrac{7}{2}\right)\cup\left(4;+\infty\right)\)

4:

x+3y=4m+4 và 2x+y=3m+3

=>2x+6y=8m+8 và 2x+y=3m+3

=>5y=5m+5 và x+3y=4m+4

=>y=m+1 và x=4m+4-3m-3=m+1

x+y=4

=>m+1+m+1=4

=>2m+2=4

=>2m=2

=>m=1

3:

x+2y=3m+2 và 2x+y=3m+2

=>2x+4y=6m+4 và 2x+y=3m+2

=>3y=3m+2 và x+2y=3m+2

=>y=m+2/3 và x=3m+2-2m-4/3=m+2/3

M  = 4⁰ + 4¹ + 4² + 4³ + ... + 4⁹⁸

=> 4M = 4¹ + 4² + 4³ + 4⁴ + ... + 4⁹⁹

Khi đó 4M - M = (4¹ + 4² + 4³ + 4⁴ + ... + 4⁹⁹) - (4⁰ + 4¹ + 4² + 4³ + ... + 4⁹⁸)

=> 3M = 4⁹⁹ - 4⁰ = 4⁹⁹ - 1

Khi đó 2^x = 3M + 1

<=> 2^x = 4⁹⁹ - 1 + 1

=> 2^x = 4⁹⁹

=> 2^x = (2²)⁹⁹

=> 2^x = 2^2.99

=> 2^x = 2¹⁹⁸

=> x = 198

Vậy x = 198

M = 4⁰ + 4¹ + 4² + 4³ + ... + 4⁹⁸

4M = 4( 4⁰ + 4¹ + 4² + 4³ + ... + 4⁹⁸ )

      = 4¹ + 4² + 4³ + 4⁴ + ... + 4⁹⁹

=> 3M = 4M - M

           = 4¹ + 4² + 4³ + 4⁴ + ... + 4⁹⁹ - ( 4⁰ + 4¹ + 4² + 4³ + ... + 4⁹⁸ )

           = 4¹ + 4² + 4³ + 4⁴ + ... + 4⁹⁹ - 4⁰ - 4¹ - 4² - 4³ - ... - 4⁹⁸ 

           = 4⁹⁹ - 1

2^x = 3M + 1

<=> 2^x = 4⁹⁹ - 1 + 1

<=> 2^x = 4⁹⁹ 

<=> 2^x = (2²)⁹⁹ = 2¹⁹⁸

<=> x = 198

Phương trình có nghiệm là x = 2. Thay x = 2 vào phương trình để tìm m:

\(2^2-2\left(m+4\right)+3m+3=0\)

\(4-2m-8+3m+3=0\)

\(-1+m=0\)

\(m=1\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 2 khi m = 1

Phương trình có nghiệm là x = 2. Thay x = 2 vào phương trình để tìm m:

$2^2-2\left(m+4\right)+3m+3=0$22−2(m+4)+3m+3=0

$4-2m-8+3m+3=0$4−2m−8+3m+3=0

$-1+m=0$−1+m=0

$m=1$m=1

Vậy phương trình có nghiệm x = 2 khi m = 1

với x=2 ta có:

2²-(m+4)*2+3m+3=0

<=>4-2m+8+3m+3=0

<=>x-1=0

<=>x=1

Đặt \(2\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}=t\Rightarrow t^2-4=3x+4+4\sqrt{-x^2+3x+4}\)

Ta có:

\(2\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}\le\sqrt{\left(4+1\right)\left(x+1+4-x\right)}=5\)

\(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}\ge\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1+4-x}\ge\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\sqrt{5}\le t\le5\)

Phương trình trở thành:

\(t^2-4=mt\) \(\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2-mt-4=0\)

\(ac=-4< 0\Rightarrow pt\) luôn có 2 nghiệm trái dấu (nghĩa là đúng 1 nghiệm dương)

Vậy để pt có nghiệm thuộc \(\left[\sqrt{5};5\right]\Rightarrow x_1< \sqrt{5}\le x_2\le5\)

\(\Rightarrow f\left(\sqrt{5}\right).f\left(5\right)\le0\)

\(\Rightarrow\left(1-\sqrt{5}m\right)\left(21-5m\right)\le0\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{5}}{5}\le m\le\dfrac{21}{5}\)

2.

Chắc đề đúng là "tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt giá trị lớn nhất"

Hàm bậc 2 có \(a=2>0\Rightarrow y_{min}=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{9\left(m+1\right)^2-8\left(m^2+3m-2\right)}{8}=-\dfrac{m^2-6m+25}{8}\)

\(\Rightarrow y_{min}=-\dfrac{1}{8}\left(m-3\right)^2-2\le-2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m-3=0\Rightarrow m=3\)

\(\Leftrightarrow x^4-2x^3-\left(m+3\right)x^2-4x^3+8x^2+4\left(m+3\right)x+mx^2-2mx-m^2-3m=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-2x-m-3\right)-4x\left(x^2-2x-m-3\right)+m\left(x^2-2x-m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+m\right)\left(x^2-2x-m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-4x+m=0\\x^2-2x-m-3=0\end{matrix}\right.\)

Pt có 4 nghiệm khi: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_1=4-m\ge0\\\Delta'_2=1+m+3\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-4\le m\le4\)

+) \(m+2=0\Leftrightarrow m=-2\Rightarrow-2< 0\left(TM\right)\)

+) \(m+2\ne0\Leftrightarrow m\ne-2\)

\(\left(m+2\right)x^2-2\left(m+2\right)x+3m+4< 0,\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+2< 0\\\Delta'< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -2\\\left(m+2\right)^2-\left(m+2\right)\left(3m+4\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -2\\-2m^2-6m-4< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -2\\m\in\left(-\infty;-2\right)\cup\left(-1;+\infty\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m\in\left(-\infty;-2\right)\)

Vậy \(m\in(-\infty;-2]\)

Vì hai bài giống nhau nên anh sẽ làm mẫu bài 1 nhé.