Gọi IH, IK, IL lần lượt là khoảng cách từ I đến EF, DF, DE.

Theo đề bài, điểm I cách đều ba cạnh của ΔDEF ⇒ IH = IK = IL

IL = IK ⇒ I cách đều hai cạnh của góc D ⇒ I nằm trên đường phân giác của góc D.

IH = IK ⇒ I cách đều hai cạnh của góc F ⇒ I nằm trên đường phân giác của góc F.

IH = IL ⇒ I cách đều hai cạnh của góc E ⇒ I nằm trên đường phân giác của góc E.

Từ 3 điều trên suy ra I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.

Hướng dẫn:

I nằm trong ∆DEF và cách đều ba cạnh của tam giác nên I lần lượt thuộc phân giác của các góc , ,

Vậy I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF

I nằm trong ∆DEF và cách đều ba cạnh của tam giác nên I lần lượt thuộc phân giác của các góc $\hat{D}$, $\hat{E}$, $\hat{F}$

Vậy I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF

Từ điểm I ta kẻ IA ⊥ DE; IB ⊥ EF và IC ⊥ DF

- Vì điểm I cách đều hai cạnh DE và DF nên I nằm trên đường phân giác của góc EDF (định lí 2 - định lí đảo của tia phân giác)

Tương tự ta suy ra điểm I nằm trên tia phân giác của góc DEF và góc EFD.

Vậy I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.

Kẻ IA⊥ED tại A, IB⊥EF tại B, IC⊥DF tại C

Vì I cách đều ba cạnh nên IA=IB=IC

Xét ΔIAE vuông tại A và ΔIBE vuông tại B có 

IE chung

IA=IB(cmt)

Do đó: ΔIAE=ΔIBE(Cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{AEI}=\widehat{BEI}\)(hai góc tương ứng)

\(\Leftrightarrow\widehat{DEI}=\widehat{FEI}\)

hay EI là tia phân giác của \(\widehat{DEF}\)(1)

Xét ΔICF vuông tại C và ΔIBF vuông tại B có 

IF chung

IC=IB(cmt)

Do đó: ΔICF=ΔIBF(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{BFI}=\widehat{CFI}\)(hai góc tương ứng)

\(\Leftrightarrow\widehat{EFI}=\widehat{DFI}\)

hay FI là tia phân giác của \(\widehat{EFD}\)(2)

Xét ΔDAI vuông tại A và ΔDCI vuông tại C có 

DI chung

IA=IC(cmt)

Do đó: ΔDAI=ΔDCI(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{ADI}=\widehat{CDI}\)(hai góc tương ứng)

\(\Leftrightarrow\widehat{EDI}=\widehat{FDI}\)

hay DI là tia phân giác của \(\widehat{EDF}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra I là điểm chung của ba đường phân giác trong của ΔDEF(Đpcm)

- Gọi M, N là trung điểm CA và BA.

ΔABC cân tại A có BM, CN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC, AB.

⇒ BM = CN ( chứng minh ở bài 26)

Mà  (Tính chất trọng tâm của tam giác)

⇒ GB = GC

- ΔAGB và ΔAGC có

AG chung

AB = AC (do ΔABC cân tại A)

GB = GC (chứng minh trên)

⇒ ΔAGB = ΔAGC (c.c.c)

- Theo đề bài I cách đều ba cạnh của tam giác

Dựa vào chứng minh bài 36 ⇒ I là điểm chung của ba đường phân giác

⇒ I thuộc tia phân giác của 

Vì G, I cùng thuộc tia phân giác của  nên A, G, I thẳng hàng

I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác nên MI là tia phân giác của góc M.

Do tam giác MNP cân tại M nên đường giác MI cũng là đường trưng tuyến.

G là trọng tâm của tam giác MNP nên G nằm trên MI.

Từ đó, suy ra M,G, I thẳng hàng.