a) Từ gt, suy ra

\(\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+2\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y+2\right)+\left(x+y+2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+2\right)\left(2x^2-2xy+2y^2+2x+2y+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+2\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+2\right]=0\)

Do đó: \(x+y+2=0\Leftrightarrow x+y=-2\)

Mặt khác \(xy>0\Rightarrow x< 0;y< 0\)

Áp dụng AM-GM, ta có

\(\sqrt{\left(-x\right)\left(-y\right)}\le\dfrac{\left(-x\right)+\left(-y\right)}{2}=1\) nên \(xy\le1\)\(\Rightarrow\dfrac{-2}{xy}\le-2\)

\(M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}\le-2\)

GTLN của M là -2 khi x=y=-1

Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có

\(VT=\dfrac{a^6}{a^3+a^2b+b^2a}+\dfrac{b^6}{b^3+b^2c+c^2b}+\dfrac{c^6}{c^3+c^2a+ca^2}\ge\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\)

Mặt khác: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

Tương tự: \(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right);c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)

\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\)

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

\(A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3+6}+\frac{1}{3+6+9}+...+\frac{1}{3+6+9+...+2013}\)

\(A=\frac{1}{3}.\left(1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+...+\frac{1}{1+2+3+...671}\right)\)

\(A=\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{\left(1+0\right).2:2}+\frac{1}{\left(1+2\right).2:2}+\frac{1}{\left(1+3\right).3:2}+...+\frac{1}{\left(1+671\right).671:2}\right)\)

\(A=\frac{1}{3}.\left(\frac{2}{1.2}+\frac{2}{2.3}+\frac{2}{3.4}+...+\frac{2}{671.672}\right)\)

\(A=\frac{1}{3}.2.\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{671.672}\right)\)

\(A=\frac{2}{3}.\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{671}-\frac{1}{672}\right)\)

\(A=\frac{2}{3}.\left(1-\frac{1}{672}\right)\)

\(A=\frac{2}{3}.\frac{671}{672}=\frac{671}{1008}\)

Tìm chữ số tận cùng của :

a) 3²⁰¹³  b) 6²⁰¹³ c) 9 ²⁰¹³ d) 2 ²⁰¹³

Tìm chữ số tận cùng của :

a) 3²⁰¹³  b) 6²⁰¹³ c) 9 ²⁰¹³ d) 2 ²⁰¹³

^{soli vẽ hơi sấu}

a=9, b=2,c=7,d=6

a: \(=\left[-15+2013-36\right]:\left(-2\right)-1+27\)

\(=\dfrac{1962}{-2}+26\)

\(=-981+26=-955\)

b: \(=\dfrac{-35}{-7}+\left(-12\right)-\left(-1\right)=5+1-12=-6\)

c: \(=-2^9\cdot\left(-2\right)^5+6^2-1-\left(-125\right)\)

\(=2^{14}+36-1+125\)

\(=16384+36+124=16544\)

Bài này mình cũng đã từng gặp , có 2 cách giải như sau :

ta thấy một cặp trong dãy ( 2016 - 2013 ; 2010 - 2007 ; ... )

đều có giá trị là 3 , có số cặp :

 ( 2016 - 3 ) : 3 + 1  = 672 

2 lần tổng trên :

 672 x 3  = 2016 

Tổng trên :

2016 : 2 = 1008 

đ/s : 1008 

còn 1 cách nữa là bạn tính tất cả nhưng phép trừ , rồi tới công , trừ 2 kết quả có được cho nhau ra 1008

ok đúng rồi đó