a. Đề bài sai, với \(n=1;2;3...\) thì đều sai hết

b. Đề bài sai, với \(n=0;2;4...\) thì vẫn sai hết

e viết nhầm đề

a) n⁴-10n³+35n²-50n+72 chia hết cho 24 với n nguyên

b) n⁴+4n³-8n²-16n+768 chia hết cho 384 với n chẵn

Ta phân tích biểu thức đã cho ra nhân tử :

Vì n chẵn và lớn hơn 4 nên ta đặt n = 2k + 2 , trong đó k > 1 và biểu diễn theo k,ta có : 

Ta nhận thấy là tích của bốn số nguyên dương liên tiếp,tích này chia hết cho 2.3.4 = 24

Vậy tích A đã cho chia hết cho 16.2.3.4 = 384 => đpcm

Câu hỏi của Nghĩa Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Ta có 384 = 3.128 và (3; 128) = 1 Lại có n chẵn và n > 4  n = 2k ( k  N, k > 2)  A = n⁴ – 4n³ – 4n + 16n = 16k⁴ – 32k³ – 16k² + 32k = 16k(k³ – 2k² – k + 2) = 16k(k – 2)(k – 1)(k + 1) Mà k, k – 2, k – 1, k + 1 là 4 số nguyên liên tiếp nên luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4.  k(k – 2)(k – 1)(k + 1)  8  A  16.8 hay A  128 Mặt khác ba trong 4 số nguyên liên tiếp k, k – 2, k – 1, k + 1 phải có một số chia hết cho 3 nên A  3 mà (3; 128) = 1 nên A  384. Vậy A = n⁴ – 4n³ – 4n² + 16n 384 với mọi n chẵn và n > 4

bạn chứng minh tương tự như trên nhé tha số thôi 

Do n là số chẵn => n = 2.k (k > 1)

Ta có:

n⁴ - 4n³ - 4n² + 16n

= (2k)⁴ - 4.(2k)³ - 4.(2k)² + 16.2k

= 2⁴.k⁴ - 4.2³.k³ - 4.2².k² + 32k

= 16.k⁴ - 32k³ - 16k² + 32k

= 16k³.(k - 2) - 16k.(k - 2)

= (k - 2).(16k³ - 16k)

= (k - 2).16k.(k² - 1)

= 16.(k - 2)(k - 1).k.(k + 1)

Vì (k - 2).(k - 1).k.(k + 1) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên (k - 2).(k - 1).k.(k + 1) chia hết cho 3 và 8

Mà (3;8)=1 => (k - 2).(k - 1).k.(k + 1) chia hết cho 24

=> 16.(k - 2).(k - 1).k.(k + 1) chia hết cho 384

=> n⁴ - 4n³ - 4n² + 16n chia hết cho 384 (đpcm)

Ta phân tích biểu thức đã cho ra nhân tử :

\(A=n^4-4n^3-4n^2+16n\)

\(=\left[n^4-4n^3\right]-\left[4n^2-16n\right]=n^3(n-4)-4n(n-4)\)

\(=n(n-4)\left[n^2-4\right]=n(n-2)(n+2)(n-4)\)

Vì n chẵn và lớn hơn 4 nên ta đặt n = 2k + 2 , trong đó k > 1 và biểu diễn theo k,ta có : \(A=(2k+2)(2k)(2k+4)(2k-2)\)

\(=16k(k-1)(k+1)(k+2)=16(k-1)(k)(k+1)(k+2)\)

Ta nhận thấy \((k-1)(k)(k+1)(k+2)\)là tích của bốn số nguyên dương liên tiếp,tích này chia hết cho 2.3.4 = 24

Vậy tích A đã cho chia hết cho 16.2.3.4 = 384 => đpcm

Mình làm gọn 1 xíu nhé

Ta có

\(x^4-4x^3-4x^2+16x=\left(x-4\right)\left(x-2\right)x\left(x+2\right)\)

Đây là tích của 4 số chẵn liên tiếp nên sẽ có 2 số chia hết cho 2, 1số chia hết cho 4, 1 số chia hết cho 8. Nên tích này chia hết cho 2⁷.

Trong 3 số chẵn liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3

Vì 3 và 2⁷ là nguyên tố cùng nhau nên

Tích chia hết cho 3.2⁷ = 384

384 Đúng 100%

\(\Rightarrow\left(4n^3+2n^2-6n^2-3n+2n+1+3\right)⋮\left(2n+1\right)\\ \Rightarrow\left[\left(2n+1\right)\left(2n^2-3n+1\right)+3\right]⋮\left(2n+1\right)\\ \Rightarrow2n+1\inƯ\left(3\right)=\left\{-3;-1;1;3\right\}\\ \Rightarrow n\in\left\{-2;-1;0;1\right\}\)

\(4n^3-4n^2-n+4⋮2n+1\)

\(\Leftrightarrow4n^3+2n^2-6n^2-3n+2n+1+3⋮2n+1\)

\(\Leftrightarrow2n+1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;-1;1;-2\right\}\)