Có: `x-2y+4=0`

`<=>x=2y-4`

Thay `x=2y-4` vào `(E)` có:

      `3(2y-4)^2+4y^2-48=0`

`<=>3(4y^2-16y+16)+4y^2-48=0`

`<=>12y^2-48y+48+4y^2-48=0`

`<=>` $\left[\begin{matrix} y=3\\ y=0\end{matrix}\right.$

    `@y=3=>x=2.3-4=2`

     `@y=0=>x=2.0-4=-4`

`=>` Tọa độ giao điểm của `(E)` và `(d)` là: `(2;3)` và `(-4;0)`

                  `->D`

\(\Rightarrow\) \(chọn\) \(D\)

\(xét\) \(hpt\) \(:\)

\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+4y^2-48=0\\x-2y+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(2y-4\right)^2+4y^2-48=0\\x=2y-4\end{matrix}\right.\)

\(giải:\) \(3\left(4y^2-16y+16\right)+4y^2-48=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12y^2-48y+48+4y^2-48=0\\16y^2-48y=0\\\left[{}\begin{matrix}y=0\Rightarrow x=-4\\y=3\Rightarrow x=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(vậy\) \(giao\) \(điểm\) \(của\) \(elip\) \(\left(E\right)\) \(là\) \(\left(-4;0\right)\) \(và\) \(\left(2;3\right)\)

1. Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc d

\(\Rightarrow\) d' nhận (1;3) là 1 vtpt

Phương trình d':

\(1\left(x+2\right)+3\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x+3y-4=0\)

H là giao điểm d và d' nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y+4=0\\x+3y-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{4}{5}\\y=\dfrac{8}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow H\left(-\dfrac{4}{5};\dfrac{8}{5}\right)\)

2.

Do A' đối xứng A qua d nên H là trung điểm AA'

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=2x_H-x_A=\dfrac{2}{5}\\y_{A'}=2y_H-y_A=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A'\left(\dfrac{2}{5};\dfrac{1}{5}\right)\)

3.

Gọi B là giao điểm d và \(\Delta\) thì tọa độ B thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y+4=0\\x+2y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-\dfrac{3}{7};\dfrac{19}{7}\right)\)

Lấy điểm \(C\left(0;4\right)\) thuộc d

Phương trình đường thẳng \(d_1\) qua C và vuông góc \(\Delta\) có dạng:

\(2\left(x-0\right)-\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow2x-y+4=0\)

Gọi D là giao điểm \(\Delta\) và \(d_1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y-5=0\\2x-y+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(-\dfrac{3}{5};\dfrac{14}{5}\right)\)

Gọi D' là điểm đối xứng C qua \(\Delta\Rightarrow\) D là trung điểm CD'

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{D'}=2x_D-x_C=-\dfrac{6}{5}\\y_{D'}=2y_D-y_C=\dfrac{8}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{BD'}=\left(-\dfrac{27}{35};-\dfrac{39}{35}\right)=-\dfrac{3}{35}\left(9;13\right)\)

Phương trình đường thẳng đối xứng d qua denta (nhận \(\left(9;13\right)\) là 1 vtcp và đi qua D':

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{6}{5}+9t\\y=\dfrac{8}{5}+13t\end{matrix}\right.\)

4.

Gọi \(d_1\) là đường thẳng đối xứng với d qua A

\(\Rightarrow d_1||d\Rightarrow d_1\) có dạng: \(3x-y+c=0\)

Do A cách đều d và \(d_1\) nên:

\(d\left(A;d\right)=d\left(A;d_1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|3.\left(-2\right)-3+4\right|}{\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\left|3.\left(-2\right)-3+c\right|}{\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|c-9\right|=5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=4\left(loại\right)\\c=14\end{matrix}\right.\)

Vậy pt \(d_1\) có dạng: \(3x-y+14=0\)

Em tự chuyển sang 2 dạng còn lại

a: (Δ)//d nên Δ: -x+2y+c=0

=>VTPT là (-1;2)

=>VTCP là (2;1)

PTTS là:
x=3+2t và y=1+t

b: (d): -x+2y+1=0

=>Δ: 2x+y+c=0

Thay x=4 và y=-2 vào Δ, ta được:

c+8-2=0

=>c=-6

(C): x^2+y^2+4x-2y-4=0

=>(x+2)^2+(y-1)^2=9

=>I(-2;1); R=3

M thuộc d nên M(a;1-a)

M nằm ngoài (C) nên IM>R

=>IM^2>9

=>2a^2+4a-5>0

MA^2=MB^2=IM^2-IA^2=(a+2)^2+(-a)^2-9=2a^2+4a-5

=>x^2+y^2-2ax+2(a-1)y-6a+6=0(1)

A,B thuộc (C)

=>Tọa độ A,B thỏa mãn phương trình:

 x^2+y^2+4x-2y-4=0(2)

(1)-(2)=(a+2)x-ay+3a-5=0(3)

Tọa độ A,B thỏa mãn (3) nên (3) chính là phương trình đường thẳng AB

(E) tiếp xúc AB nên (E): R1=d(E,AB)

Chu vi của (E) lớn nhất khi R1 lớn nhất

=>d(E;AB) lớn nhất

Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên AB

=>d(E,Δ)=EH<=EK=căn 10/2

Dấu = xảy ra khi H trùng K

=>AB vuông góc EK

vecto EK=(-1/2;3/2), AB có VTCP là (a;a+2)

AB vuông góc EK

=>-1/2a+3/2(a+2)=0

=>a=-3

=>M(-3;4)

Đường tròn (C) tâm \(I\left(2;-1\right)\) bán kính \(R=3\)

a. \(\overrightarrow{IM}=\left(0;2\right)\Rightarrow IM=\sqrt{0^2+2^2}=2< R\Rightarrow\) M nằm trong đường tròn

b. \(d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|2-\left(-1\right)+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=2\sqrt{2}< 3\Rightarrow d\) cắt đường tròn tại 2 điểm

c. Khoảng cách giữa 2 điểm trên đường tròn là lớn nhất khi chúng nằm ở 2 mút đường kính

\(\Rightarrow\) d' đi qua tâm I

Do d' vuông góc d nên nhận (1;1) là 1 vtpt

Phương trình: \(1\left(x-2\right)+1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+y-1=0\)

1.

Trục Ox có pt \(y=0\) nên đường song song với nó là \(y=4\)

2.

\(\overrightarrow{MI}=\left(1;-2\right)\)

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tâm I tại M đi qua M và vuông góc MI nên nhận \(\overrightarrow{MI}\) là 1 vtpt

Phương trình:

\(1\left(x-1\right)-2\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x-2y+5=0\)

Tham khảo :