Đặt \(C=\frac{3\left|x\right|+2}{4\left|x\right|-5}\)

\(\Rightarrow\frac{4}{3}C=\frac{4}{3}.\left(\frac{3\left|x\right|+2}{4\left|x\right|-5}\right)=\frac{12\left|x\right|+8}{12\left|x\right|-15}=\frac{12\left|x\right|-15+23}{12\left|x\right|-15}\)

                                                                \(=1+\frac{23}{12\left|x\right|-15}\)

Để C đạt GTLN \(\Leftrightarrow\left(12\left|x\right|-15\right)_{min}\)

Vì \(\left|x\right|\ge0\left(\forall x\right)\Rightarrow12\left|x\right|\ge0\Rightarrow12\left|x\right|-15\ge-15\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left|x\right|=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy ...

A dat gia tri nho nhat

 khí trí tuyệt đối của x+15=15 Vậy giá trị nhỏ nhất se la 15-3=12

Min A=12 khi x=0

Tìm GTNN

Ta có: A = |x - 1| + |x - 4|

=>  A = |x - 1| + |4 - x| \(\ge\)|x - 1 + 4 - x| = |3| = 3

=> A \(\ge\)3

Dấu "=" xảy ra <=> (x - 1)(x - 4) \(\ge\)0

<=> \(1\le x\le4\)

Vậy Min A = 3 <=> \(1\le x\le4\)

Tìm GTLN

Ta có: -|x + 2| \(\le\)0 \(\forall\)x

hay A  \(\le\)0 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy ra <=> x + 2 = 0 <=> x = -2

Vậy Max A = 0 <=> x = -2

Cách của mình dài ,bạn nào có cách khác ngắn gọn hơn thì chỉ cho mình với ạ. Cảm ơn

Trước hết ta chứng minh  BĐT phụ sau: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2}.\)(*)

Thật vậy: \(ax+by\le\sqrt{\left(ax+by\right)^2}\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\)(BĐT bunhiacopxi)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+x^2+y^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge a^2+b^2+x^2+y^2+2\left(ax+by\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\right)^2\ge\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\). BĐT đã được chứng minh

Xét : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)=x^2-\left(1+x^2\right)=-1.\)

Theo giả thết : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)

\(\Rightarrow2018\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)=-\left(y+\sqrt{1+y^2}\right).\)

\(\Leftrightarrow2018x+y=2018\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}.\)(1)

Tương tự:

Xét:\(\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y-\sqrt{1+y^2}\right)=y^2-\left(1+y^2\right)=-1\)

Theo giả thiết : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)

\(\Rightarrow2018\left(y-\sqrt{1+y^2}\right)=-\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+2018y=-\sqrt{1+x^2}+2018\sqrt{1+y^2}\)(2)

Cộng các vế của (1) và (2) lại ta được

\(2019\left(x+y\right)=2017\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\right)\)

Khi đó áp dụng bất đẳng thức (*) ta có;

\(2019\left(x+y\right)=2017\left(\sqrt{1^2+x^2}+\sqrt{1^2+y^2}\right)\ge2017\left(\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(x+y\right)^2}\right)\)

\(\Rightarrow2019\left(x+y\right)\ge2017\sqrt{4+\left(x+y\right)^2}\)

Đặt \(x+y=a>0\)ta có;

\(2019a\ge2017\sqrt{4+a^2}\Leftrightarrow2019^2a^2\ge2017^2a^2+2017^2.4\)

\(\Leftrightarrow\left(2019^2-2017^2\right)a^2\ge\left(2017.2\right)^2\Leftrightarrow a^2\ge\frac{2017^2.2.2}{2.4036}\Leftrightarrow a^2\ge\frac{2017^2}{2018}\)

\(\Rightarrow a\ge\frac{2017}{\sqrt{2018}}\Rightarrow x+y\ge\frac{2017}{\sqrt{2018}}.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+y là \(\frac{2017}{\sqrt{2018}}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=\frac{2017}{2\sqrt{2018}}.\)

bn đào thu hà k cần cm bdt phụ đâu đấy là bdt mincopski đc dùng luôn

a: \(P=\dfrac{x\left(x+2\right)}{2\left(x+5\right)}+\dfrac{x-5}{x}-\dfrac{5x-50}{2x\left(x+5\right)}\)

\(=\dfrac{x^3+2x^2+2x^2-50-5x+50}{2x\left(x+5\right)}\)

\(=\dfrac{x^3+4x^2-5x}{2x\left(x+5\right)}\)

\(=\dfrac{x\left(x+5\right)\left(x-1\right)}{2x\left(x+5\right)}=\dfrac{x-1}{2}\)