a )  

Ta có : 

\(5^{2017}+5^{2016}+5^{2015}\)

\(=5^{2015}\left(5^2+5+1\right)\)

\(=5^{2015}.31⋮31\left(đpcm\right)\)

b ) 

Số lượng số dãy số trên là : 

\(\left(101-0\right):1+1=102\)( số )

Do \(102⋮2\)nên ta nhóm 2 số liền nhau thành 1 nhóm như sau : 

\(\left(1+7\right)+\left(7^2+7^3\right)+...+\left(7^{100}+7^{101}\right)\)

\(=8+7^2\left(1+7\right)+...+7^{100}\left(1+7\right)\)

\(=8+7^2.8+...+7^{100}.8\)

\(=8\left(1+7^2+...+7^{100}\right)⋮8\left(đpcm\right)\)

5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁶ + 5²⁰¹⁵ = 5²⁰¹⁵ x ( 5² + 5 + 1) = 5²⁰¹⁵ x (25 + 6) = 5²⁰¹⁵ x 31

Vậy 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁶ + 5²⁰¹⁵ chia hết cho 31.

Ta có:  \(5^3\equiv1\left(mod31\right)\)

=> \(\left(5^3\right)^{671}\equiv1\left(mod31\right)\)

=> \(\begin{cases}\left(5^3\right)^{671}\cdot5^2\equiv25\left(mod31\right)\equiv25\left(mod31\right)\\\left(5^3\right)^{671}\cdot5^3\equiv5^3\left(mod31\right)\equiv1\left(mod31\right)\\\left(5^3\right)^{671}\cdot5^3\cdot5\equiv5^4\left(mod31\right)\equiv5\left(mod31\right)\end{cases}\)

=> \(\begin{cases}5^{2015}\equiv25\left(mod31\right)\\5^{2016}\equiv1\left(mod31\right)\\5^{2017}\equiv5\left(mod31\right)\end{cases}\)

=> \(5^{2015}+5^{2016}+5^{2017}\equiv25+5+1\left(mod31\right)\equiv0\left(mod31\right)\)

Vậy \(5^{2015}+5^{2016}+5^{2017}⋮31\left(đpcm\right)\)

5²⁰¹⁷+5²⁰¹⁶+5²⁰¹⁵

5^2015.(5^2+5+1)

5^2015.31 chia hết cho 31 

=> Tổng trên chia hết cho 31 

5^2016 + 5^2015 + 5^2014 = 5^2014 ( 5^2 + 5 + 1) = 5^2014 . ( 25 + 5 + 1) = 5^2014 . 3 1 chia hết cho 31

5²⁰¹⁶ +5²⁰¹⁵+5²⁰¹⁴

=5²⁰¹⁴.5²+5²⁰¹⁴.5+5²⁰¹⁴.1

=5²⁰¹⁴.(5²+5+1)

=5²⁰¹⁴.31

=>5²⁰¹⁶ +5²⁰¹⁵+5²⁰¹⁴ chia hết cho 31

sao lúc nào trieu dang trước thang Tran sau mà thang Tran cũng được li-ke hết vậy

a là x và y thuộc nhóm rỗng

b thì =-1+-1+-1+...+-1+2017=-1008+2017=1009

c là vì 4S+1 là 5^2016 chia hết cho 5^2016

vì 6(5+5^2+...+5^2014) chia hết cho 6 và bằng S

Ta có:

2015²⁰¹⁷ + 2017²⁰¹⁵

= 2015²⁰¹⁷ + 1 + 2017²⁰¹⁵ - 1

= (2015²⁰¹⁷ + 1²⁰¹⁷) + (2017²⁰¹⁵ - 1²⁰¹⁵)

Do 2015²⁰¹⁷ + 1²⁰¹⁷ luôn chia hết cho 2015 + 1 = 2016; 2017²⁰¹⁵ - 1²⁰¹⁵ luôn chia hết cho 2017 - 1 = 2016

=> (2015²⁰¹⁷ + 1²⁰¹⁷) + (2017²⁰¹⁵ - 1²⁰¹⁵) chia hết cho 2016

=> 2015²⁰¹⁷ + 2017²⁰¹⁵ chia hết cho 2016 (đpcm)

TAU KHONG BIET

5²⁰¹⁶+5²⁰¹⁵+5²⁰¹⁴=5²⁰¹⁴(5²+5+1)=5²⁰¹⁴.31 chia hết cho 31

=>đpcm

1+7+7 mũ 2+7 mũ 3......+7 mũ 100.Tính a,a là tổng dãy số trên 

1. \(A=2^{2016}-1\)

\(2\equiv-1\left(mod3\right)\\ \Rightarrow2^{2016}\equiv1\left(mod3\right)\\ \Rightarrow2^{2016}-1\equiv0\left(mod3\right)\\ \Rightarrow A⋮3\)

\(2^{2016}=\left(2^4\right)^{504}=16^{504}\)

16 chia 5 dư 1 nên 16^504 chia 5 dư 1

=> 16^504-1 chia hết cho 5

hay A chia hết cho 5

\(2^{2016}-1=\left(2^3\right)^{672}-1=8^{672}-1⋮7\)

lý luận TT trg hợp A chia hết cho 5

(3;5;7)=1 = > A chia hết cho 105

2;3;4 TT ạ !!