\(a^3+b^3+c^3-\Sigma_{cyc}\left(\frac{a+b}{2}\right)^3=\frac{3}{8}\left[\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2+\left(c+a\right)\left(c-a\right)^2\ge0\right]\)

Câu hỏi hay luôn:))

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\). Khi đó \(max\left\{\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right\}=\left(a-c\right)^2\)

Như vậy, ta sẽ tìm k sao cho \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+k\left(a-c\right)^2\le a^2+b^2+c^2\)

Cho c = 0, a = 2b ta được \(\dfrac{-1}{4}\le k\le\dfrac{1}{2}\). Ta sẽ C/m \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+k\left(a-c\right)^2\le a^2+b^2+c^2\) với mọi \(\dfrac{-1}{4}\le k\le\dfrac{1}{2}\)

Ta có:

\(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+k\left(a-c\right)^2\Leftrightarrow\left(k+\dfrac{1}{4}\right)\left(a-c\right)^2+\dfrac{1}{12}\left(a+c-2b\right)^2\ge0\)

Nên BĐT đầu tiên đúng. Đồng thời:

\(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+k\left(a-c\right)^2\le a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{2}-k\right)\left(a-c\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(a+c-2b\right)^2\ge0\)

Nên BĐT thứ 2 cũng đúng

Lời giải:

Ta có:

\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=6abc\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=3abc\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)=3abc\)

Đặt \((a+b+c,ab+bc+ac,abc)=(p,q,r)\)

\(\Rightarrow p^2-3q=3r\)

Khi đó, \(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=p(p^2-3q)+3r=3pr+3r\)

Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc(a+b+c+1)\)

Chắc bạn viết thiếu.

bài này mà giải theo SOS là hơi bị tuyệt vời nhé =)))

em moi co lop 7

em mới có lớp 6 thôi mà

Bài này có bạn giải rồi:

Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng :\(\dfrac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{c\left(2b-c\right)}{... - Hoc24