Question

Cho 3 số a, b, c thỏa mãn \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=6abc\).

CMR: \(a^3+b^3+c^3=3abc\left(a+b+c\right)\).

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=6abc\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=3abc\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)=3abc\)

Đặt \((a+b+c,ab+bc+ac,abc)=(p,q,r)\)

\(\Rightarrow p^2-3q=3r\)

Khi đó, \(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=p(p^2-3q)+3r=3pr+3r\)

Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc(a+b+c+1)\)

Chắc bạn viết thiếu.