Áp dụng BĐT cô-si, ta có:

\(\frac{1}{\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(y+1\right)}+\frac{1}{\left(z+1\right)}\ge3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+1\right)}\ge1-\frac{1}{\left(y+1\right)}+1-\frac{1}{\left(z+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{\left(y+1\right)}+\frac{z}{\left(z+1\right)}\ge3\sqrt{\left(\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\right)}\)

Ta có:

\(\frac{1}{\left(x+1\right)}\ge3\sqrt{\frac{yz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)(1)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(y+1\right)}\ge3\sqrt{\left(\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}\right)}\)(2)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(z+1\right)}\ge3\sqrt{\left(\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\right)}\)(3)
Từ (1); (2) và (3), ta có:

\(\frac{1}{\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(y+1\right)}+\frac{1}{\left(z+1\right)}\ge8\frac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

\(\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}.\text{ dau }=\text{xay ra khi }x=y=z=\frac{1}{2}\)

P=5x+3y+12/x+16/y 
=3x+12/x+y+16/y+2(x+y) 
áp dụng cosi: 3x+12/x>=2√(3.12)=12 
y+16/y>=8 
lại có 2(x+y)>=2.6=12 
nên 
P>=12+8+12=32 
dấu = khi 3x=12/x và y=16/y và x+y=6 
==> x=2; y=4 
giá trị nhỏ nhất P=32 khi x=2; y=4

làm bừa thui,ai tích mình mình tích lại

số dư lớn nhất bé hơn 175 là 174

số nhỏ nhất có 4 chữ số là 1000

Mà 1000:175=5( dư 125)

số đó là:

cho x>0, y>0 và x+y lớn hơn hoặc bằng 6.

P=5x+3y+12/x+16/y 

=3x+12/x+y+16/y+2(x+y) 

áp dụng cosi: 3x+12/x>=2√(3.12)=12 

y+16/y>=8 

lại có 2(x+y)>=2.6=12 

nên 

P>=12+8+12=32 

dấu = khi 3x=12/x và y=16/y và x+y=6 

==> x=2; y=4 

giá trị nhỏ nhất P=32 khi x=2; y=4

\(A=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+x+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+x+y}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow A_{min}=\frac{2}{3}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT cô si cho:

!)\(\dfrac{3}{x}+\dfrac{9}{y}\)\(\ge2\sqrt{\dfrac{3}{x}.\dfrac{9}{y}}\ge2\sqrt{\dfrac{3.9}{xy}}=2\sqrt{\dfrac{27}{3}}=6\)

!!) Tương tự ta có:

\(3x+y\ge2\sqrt{3xy}\ge6\)

Vậy: K=\(\dfrac{3}{x}+\dfrac{9}{y}-\dfrac{26}{3x+y}\)\(\ge6-\dfrac{26}{6}=\dfrac{5}{3}\)

Min K=\(\dfrac{5}{3}\) Dấu "=' xảy ra khi y=1 và x=3

cái này mik chịu, mik mới có lớp 7

1. Ta có \(\left(b-a\right)\left(b+a\right)=p^2\)

Mà b+a>b-a ; p là số nguyên tố 

=> \(\hept{\begin{cases}b+a=p^2\\b-a=1\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}b=\frac{p^2+1}{2}\\a=\frac{p^2-1}{2}\end{cases}}\)

Nhận xét :+Số chính phương chia 8 luôn dư 0 hoặc 1 hoặc 4

Mà p là số nguyên tố 

=> \(p^2\)chia 8 dư 1

=> \(\frac{p^2-1}{2}⋮4\)=> \(a⋮4\)(1)

+Số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc 1

Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3

=> \(p^2\)chia 3 dư 1

=> \(\frac{p^2-1}{2}⋮3\)=> \(a⋮3\)(2)

Từ (1);(2)=> \(a⋮12\)

Ta có \(2\left(p+a+1\right)=2\left(p+\frac{p^2-1}{2}+1\right)=p^2+1+2p=\left(p+1\right)^2\)là số chính phương(ĐPCM)

2,     \(T=\frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-xz}+\frac{z}{1-xy}\)

Áp dụng cosi ta có \(yz\le\frac{y^2+z^2}{2}\)

=> \(\frac{x}{1-yz}\le\frac{x}{1-\frac{y^2+z^2}{2}}=\frac{2x}{2-y^2-z^2}=\frac{2x}{1+x^2}\)

Lại có \(x^2+\frac{1}{3}\ge2x\sqrt{\frac{1}{3}}\)

=> \(\frac{x}{1-yz}\le\frac{2x}{\frac{2}{3}+2x\sqrt{\frac{1}{3}}}=\frac{x}{\frac{1}{3}+x\sqrt{\frac{1}{3}}}\le\frac{x.1}{4}\left(\frac{1}{\frac{1}{3}}+\frac{1}{x\sqrt{\frac{1}{3}}}\right)=\frac{1}{4}.\left(3x+\sqrt{3}\right)\)

Khi đó \(T\le\frac{1}{4}.\left(3x+3y+3z+3\sqrt{3}\right)\)

Mà \(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\sqrt{3}\)

=> \(T\le\frac{6\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Vậy \(MaxT=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(y-x=1\Rightarrow x=y-1\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=\left(y-1\right)^2+y^2\)

\(=y^2-2y+1+y^2\)

\(=2y^2-2y+1\)

\(=2\left(y^2-y+\frac{1}{2}\right)\)

\(=2\left(y^2-2y\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}\)

\(=2\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\forall y\)

Dấu"=" xảy ra khi \(2\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow y=\frac{1}{2}\)

Vì \(y-x=1\)nên

\(\Rightarrow\frac{1}{2}-x=1\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)

Vậy \(Min_A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2};y=\frac{1}{2}\)

Phạm Thế Mạnh

dung do