Xét ΔABC vuông tại A có sin C=AB/BC

=>6/BC=1/2

=>BC=12cm

AC=căn 12^2-6^2=6*căn 3(cm)

AH=6*6căn 3/12=3*căn 3(cm)

BH=AB^2/BC=3cm

CH=12-3=9cm

\(a,\) Áp dụng HTL tam giác

\(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=BH\cdot HC\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CH=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{36}{4,5}=8\left(cm\right)\\AB=\sqrt{4,5\left(4,5+8\right)}=\sqrt{4,5\cdot12,5}=7,5\left(cm\right)\\AC=\sqrt{8\cdot12,5}=10\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

và \(BC=12,5\left(cm\right)\)

\(b,\) Áp dụng HTL tam giác

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\\AH^2=CH\cdot BH\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC=\dfrac{AB^2}{BH}=\dfrac{36}{3}=12\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{BC^2-AB^2}{12}=\dfrac{6\sqrt{3}}{12}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\\AH=3\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(1,\)

\(a,\) Áp dụng HTL tam giác

\(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=CH\cdot BH\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AH^2}{CH}=\dfrac{25}{6}\left(cm\right)\\AB=\sqrt{\dfrac{25}{6}\left(\dfrac{25}{6}+6\right)}=\dfrac{5\sqrt{61}}{6}\left(cm\right)\\AC=\sqrt{6\left(\dfrac{25}{6}+6\right)}=\sqrt{61}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\\ BC=\dfrac{25}{6}+6=\dfrac{61}{6}\left(cm\right)\)

\(b,S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot\dfrac{61}{6}=\dfrac{305}{12}\left(cm^2\right)\)

a)  ÁP dụng Pytago ta có:    AH² + HB² = AB²

                                       =>  AB² = 6² + 4,5² =56,25

                                       =>  AB = 7,5

Áp dụng hệ thức lượng ta có:  AB² = BH.BC

                                       =>  \(BC=\frac{AB^2}{BH}=12,5\)

=>   \(HC=BC-BH=12,5-4,5=8\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

             \(AC^2=HC.BC\)

 =>   \(AC=\sqrt{HC.BC}=10\)

b)  Áp dụng Pytago ta có:       AB² = BH² + AH²

                                          =>   AH² = AB² - BH² = 27

                                          =>    \(AH=3\sqrt{3}\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

     \(AH^2=BH.HC\)

=>  \(HC=\frac{AB^2}{BH}=12\)

=>  BC = HC + BH = 15

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

       AC² = HC.BC

=>  \(AC=\sqrt{HC.BC}=6\sqrt{5}\)

a) Tam giác ABH vuông tại H, áp dụng định lý PyTago

Ta có: \(AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{6^2+4,5^2}=7,5\) (Cm)

Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng hệ thức: \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AH^2}-\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{6^2}-\frac{1}{7,5^2}=\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow AC^2=100\Rightarrow AC=10\) (Cm)

Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pytago, ta có:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{7,5^2+10^2}=12,5\) (Cm)

\(HC=BC-BH=12,5-4,5=8\) (Cm)

b) Tam giác ABH vuông tại H, áp dụng định lý Pytago, ta có:

 \(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\) (Cm)

Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng hệ thức ta được:

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AH^2}-\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{\left(3\sqrt{3}\right)^2}-\frac{1}{6^2}=\frac{1}{108}\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\) (Cm)

Tam giác ACH vuông tại H, áp dụng định lý Pytago ta có:

\(CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{\left(6\sqrt{3}\right)^2-\left(3\sqrt{3}\right)^2}=9\) (Cm)

\(a,\) Áp dụng HTL:

\(AH^2=BH\cdot HC\Rightarrow HC=\dfrac{AH^2}{BH}=10,24\left(cm\right)\\ BC=BH+CH=35,24\left(cm\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}AB^2=HB\cdot BC=881\\AC^2=HC\cdot BC=360,8576\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{881}\left(cm\right)\\AC\approx19\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(b,\) Áp dụng HTL:

\(AB^2=BH\cdot BC\Rightarrow BC=\dfrac{AB^2}{BH}=24\left(cm\right)\\ HC=BC-BH=18\left(cm\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}AH^2=BH\cdot HC=108\\AC^2=CH\cdot BC=432\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=6\sqrt{3}\left(cm\right)\\AC=12\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(c,\) Áp dụng HTL:

\(BC=BH+HC=13\left(cm\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC=117\\AC^2=CH\cdot BC=52\\AH^2=BH\cdot CH=36\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=3\sqrt{13}\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{13}\left(cm\right)\\AH=6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a) Xét ΔACH vuông tại H và ΔBCA vuông tại A có

\(\widehat{C}\) chung

Do đó: ΔACH\(\sim\)ΔBCA(g-g)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{CH}{CA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AC^2=CH\cdot CB\)(đpcm)

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=10^2-6^2=64\)

hay AC=8(cm)

Thay AC=8cm và BC=10cm vào biểu thức \(AC^2=CH\cdot BC\), ta được:

\(CH\cdot10=8^2=64\)

hay CH=6,4(cm)

Ta có: CH+BH=BC(H nằm giữa B và C)

nên BH=BC-CH=10-6,4=3,6(cm)

Vậy: BH=3,6cm; CH=6,4cm

c) Xét ΔABH vuông tại H và ΔCAH vuông tại H có

\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\)(cùng phụ với \(\widehat{BAH}\))

Do đó: ΔABH\(\sim\)ΔCAH(g-g)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{BH}{AH}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AH^2=BH\cdot CH\)(đpcm)

xét tam giác ABC vuông tại A , có đường cao AH:

AH^2 = BH×HC ( hệ thức lượng)

6^2=    5×HC

36=      5×HC

HC= 36:5= 7,2( cm)

Vậy CH= 7.2cm