a: \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2+AD^2=BD^2=25\\\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{25}{144}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=4\left(cm\right)\\AC=3\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow S_{ABCD}=AB\cdot AC=12\left(cm^2\right)\)

Diện tích tam giác vuông ABD vuông tại A được tính theo 2 cách:

\(S_{ABD}=\frac{AB\times AD}{2}=\frac{AH\times BD}{2}=\frac{S_{ABCD}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}\)

=> \(AH\times BD=4\sqrt{3}\)

=> \(BD\times\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)

=> \(BD=4\left(cm\right)\)

Tam giác AHB đồng dạng tam giác DHA theo trường hợp góc - góc nên suy ra:
\(\frac{AH}{HD}=\frac{BH}{AH}\) => \(AH^2=BH\times DH=\left(BD-DH\right)\times DH\)

=> \(\left(\sqrt{3}^2\right)=3=\left(4-DH\right)\times DH\)

=> \(4DH-DH^2-3=0\)

=> \(-\left(DH^2-4DH+3\right)=0\)

=> \(DH^2-4DH+3=0\)

=> \(DH^2-DH-3DH+3=0\)

=> \(DH\left(DH-1\right)-3\left(DH-1\right)=0\)

=> \(\left(DH-1\right)\left(DH-3\right)=0\)

Với trường hợp DH=1 (cm) thì theo định lí Pytago, ta sẽ tính được AD=2(cm)

Với trường hợp DH=3(cm) thì theo định lí Pytago, ta sẽ tính được \(AD=\sqrt{12}\left(cm\right)\)

Vậy độ dài chiều dài của hình chữ nhật đó là \(\sqrt{12}\left(cm\right)\)

Bài 1 : 

Vì ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}=90^0\)

\(\Rightarrow AB=BC=CD=AD=4\)cm 

Áp dụng định lí pytago tam giác ADC vuông tại D ta có : 

\(AC^2=AD^2+CD^2=16+16=32\Rightarrow AC=4\sqrt{2}\)cm 

Vì ABCD là hình vuông nên 2 đường chéo bằng nhau AC = BD = 4\(\sqrt{2}\)cm 

Bài 2 : 

Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(AB=CD;AD=BC\)

Áp dụng định lí Pytago tam giác ACD vuông tại D ta có :

 \(AC^2=AD^2+DC^2=27+9=36\Rightarrow AC=6\)cm 

Bài 3 : 

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABH vuông tại H ta có : 

\(AB^2=BH^2+AH^2=16+36=52\Rightarrow AB=2\sqrt{13}\)cm 

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ACH vuông tại H ta có : 

\(AC^2=CH^2+AH^2=81+36=117\Rightarrow AC=3\sqrt{13}\)cm 

\(BC=CH+BH=9+4=13\)cm 

BH=căn 10^2-6^2=8cm

=>BD=10^2/8=12,5cm

=>AD=7,5cm

S ABCD=7,5*10=75cm²