a: Để 8a+19/4a+1 là số nguyên thì \(8a+2+17⋮4a+1\)

\(\Leftrightarrow4a+1\inƯ\left(17\right)\)

\(\Leftrightarrow4a+1\in\left\{1;-1;17;-17\right\}\)

hay \(a\in\left\{0;4\right\}\)

b: Tham khảo: 

Giải:
Để \(\frac{8a+19}{4a+1}\) có giá trị là số nguyên thì \(8a+19⋮4a+1\)

Ta có:

\(8a+19⋮4a+1\)

\(\Rightarrow\left(8a+2\right)+17⋮4a+1\)

\(\Rightarrow2\left(4a+1\right)+17⋮4a+1\)

\(\Rightarrow17⋮4a+1\)

\(\Rightarrow4a+1\in\left\{\pm1;\pm17\right\}\)

+) \(4a+1=1\Rightarrow a=0\) ( thỏa mãn )

+) \(4a+1=-1\Rightarrow a=\frac{-1}{2}\)  ( không thỏa mãn )

+) \(4a+1=17\Rightarrow a=4\) ( thỏa mãn )

+) \(4a+1=-17\Rightarrow a=\frac{-9}{2}\) ( không thỏa mãn )

Vậy a = 0 hoặc a = 4

b) Giải:

Để \(\frac{5a-17}{4a-23}\) có giá trị lớn nhất thì \(5a-17⋮4a-23\)

Ta có:
\(5a-17⋮4a-23\)

\(\Rightarrow4\left(5a-17\right)⋮4a-23\)

\(\Rightarrow20a-68⋮4a-23\)

\(\Rightarrow\left(20a-115\right)+47⋮4a-23\)

\(\Rightarrow5\left(4a-23\right)+47⋮4a-23\)

\(\Rightarrow47⋮4a-23\)

\(\Rightarrow4a-23\in\left\{\pm1;\pm47\right\}\)

+) \(4a-23=1\Rightarrow a=6\) ( thỏa mãn )

+) \(4a-23=-1\Rightarrow a=\frac{11}{2}\) ( không thỏa mãn )

+) \(4a-23=47\Rightarrow a=\frac{35}{2}\) ( không thỏa mãn )

+) \(4a-23=-47\Rightarrow a=-6\) ( thỏa mãn )

Vì a có giá trị lớn nhất để \(\frac{5a-17}{4a-23}\) có giá trị lớn nhất nên a = 6

Vậy a = 6

Lời giải:

$\frac{5a+17}{4a+13}=\frac{\frac{5}{4}(4a+13)+\frac{3}{4}}{4a+13}$

$=\frac{5}{4}+\frac{3}{4(4a+13)}$

Để phân số trên max thì $\frac{3}{4(4a+13)}$ max

Điều này xảy ra khi $4a+13$ là số nguyên dương nhỏ nhất.

Với $a$ là stn, $4a+13$ là số nguyên dương nhỏ nhất khi $a$ nhỏ nhất, bằng $0$

Vậy $a=0$ 

câu a)mình ghi thiếu  phải là 8a+19

8a+19/4a+1 có giá trị nguyên thì 8a+19 chia hết cho 4a+1

=> 2(4a+1)+17 chia hết 4a+1

mà 2(4a+1) chia hết 4a+1

=> 17 chia hết 4a+1

=> 4a+1 thuộc ước của 17

=> ...............

a/ Để \(\frac{8a+19}{4a+1}\)có giá trị là số nguyên thì:

\(8a+19⋮4a+1\)

\(\Rightarrow2\left(4a+1\right)+17⋮4a+1\)

\(\Rightarrow17⋮4a+1\)

Vì \(a\in N\Rightarrow4a+1\inƯ\left(17\right)=\left\{\mp1;\mp17\right\}\)

Ta có bảng sau:

Vì \(a\in N\Rightarrow a\in\left\{0;4\right\}\)

ta co de 5a-17/4a-23 lon nhat thi mau phai nho nhat => 4a-23=1 vi khong chia duoc cho so 0   khi do 4a=24 vay a=6

Lời giải:

\(A=\frac{5a+17}{4a+13}=\frac{\frac{5}{4}(4a+13)+\frac{3}{4}}{4a+13}=\frac{5}{4}+\frac{3}{4(4a+13)}\)

Để $A$ lớn nhất thì $\frac{3}{4(4a+13)}$ lớn nhất.

Điều này xảy ra khi $4(4a+13)$ là số tự nhiên nhỏ nhất khác $0$.

Với $a$ tự nhiên, $4(4a+13)\geq 1$

$\Rightarrow a\geq -3,18$

$\Rightarrow$ số tự nhiên $a$ nhỏ nhất là $0$.