1.Xét ΔHBA và ΔABC có:

góc AHB=góc BAC=90^o

Góc B chung 

=> ΔABC đồng dạng ΔHBA (g.g)

=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\)\(\Rightarrow BA.BA=BH.BC\)

2. Xét ΔHBI và ΔABE có:

góc ABE=IBH (Vì BE là tia phân giác của góc B, I nằm trên BE)

góc BAE=góc IHB=90^o

=>ΔHBI đồng dạng ΔABE (g.g)

a) Xét tam giác BHA và BHE có:

BD chung

ˆABD^=ˆEBD^(vì BD là phân giác ˆBB^)

ˆBHA^=ˆBHE^(vì AH vuông góc với Bd tại H)

⇒Tam giác BHA=tam giac BHE(c.g.v-g.n.k)

b) Xét Tam giác BDA và tam giác BDE có

BD chung

BA=BE( vì tam giac BHA = tam giac BHE( chứng minh phần a))

ABD=EBD( vì BD là phân giác củaˆBB^)

⇒⇒Tam giác BDA = Tam giác BDE(c.g.c)

⇒⇒ˆBEA^=ˆA^= 90^o(2 canh tương ứng và ˆA^= 90^o)

ED vuông góc với B tại E

c, AD = DE

DE < CD do tam giác CDE vuông tại E

=> AD < DC

d, DA= DE do tam giác ABD = tam giác EBD (Câu b)

=> tam giác DAE cân tại D (đn)

=> ^DAE = ^DEA (tc)            (1)

có : AK _|_ BC (gt) ; DE _|_ BC (câu b)

=> DE // AK 

=> ^DEA = ^EAK (slt) và (1)

=> ^DAE = ^EAK mà AE nằm giữa AD và AK 

=> AE là phân giác của ^CAK (đpcm)

a) Vì EH ⊥ BC ( gt )

=> ΔBHE vuông tại H

Xét tam giác vuông BAE và tam giác vuông BHE có :

BE chung

∠B₁ = ∠B₂ ( BE là tia phân giác của ∠BAC )

=> ΔBAE = ΔBHE ( cạnh huyền - góc nhọn )

b) Gọi I là giao điểm của AH và BE

Xét ΔABI và ΔHBI có :

BA = BH (ΔBAE = ΔBHE (cmt)

∠B₁ = ∠B₂ ( BE là tia phân giác của ∠BAC )

BI chung

=> ΔABI = ΔHBI ( c.g.c )

=> ∠AIB = ∠AIH ( 2 góc tương ứng )

Mà ∠AIB + ∠AIH = 180⁰ ( 2 góc kề bù )

=> ∠AIB = ∠AIH = 90⁰

=> BI ⊥ AH (1)

Ta có: IA = IH ( ΔABI = ΔHBI ( cmt )

Mà I nằm giữa hai điểm A và H (2)

=> I là trung điểm của AH ( 3)

Từ (1) (2) (3) => BI là trung trực của AH

Hay BE là trung trực của AH

c) Xét ΔKAE và ΔCHE có:

∠KAE = ∠CHE ( = 90⁰ )

AE = HE ( ΔBAE = ΔBHE (cmt)

∠AEK = ∠HEC ( 2 góc đối đỉnh )

=> ΔKAE = ΔCHE ( g.c.g )

=> EK = EC ( 2 cạnh tương ứng )

a: Xét ΔABE vuông tại A và ΔHBE vuông tại H có

BE chung

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\)

Do đó: ΔABE=ΔHBE

b: Ta có:ΔABE=ΔHBE

nên BA=BH và EA=EH

=>BE là đường trung trực của AH

c: Xét ΔAEK vuông tại A và ΔHEC vuông tại H có

EA=EH

\(\widehat{AEK}=\widehat{HEC}\)

Do đó: ΔAEK=ΔHEC

Suy ra: EK=EC

hay ΔEKC cân tại E

d: Xét ΔBKC có BA/AK=BH/HC

nên AH//KC

Xét hai tam giác vuông BHA và BAC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}\text{ chung}\\\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BHA\sim\Delta BAC\left(g.g\right)\)

Xét ΔBHA và ΔBAC có:

\(\widehat{ABC}chung\)

\(\widehat{BHA}=\widehat{BAC}\left(=90^o\right)\)

⇒ ΔBHA ∾ ΔBAC ( g.g )

A.Xét ΔABE và ΔDBE có:

Cạnh BE chung

BD = BA

⇒ ΔABE = ΔDBE (cạnh huyền – góc nhọn) 

b. Do BD = BA nên B nằm trên đường trung trực của AD

Do ΔABE = ΔDBE ⇒ AE = ED (hai cạnh tương ứng)

E nằm trên đường trung trực của AD 

Vậy BE là đường trung trực của AD

c. Do ΔABE = ΔDBE ⇒ ∠(ABE) = ∠(EBC) (hai góc tương ứng)

Suy ra BE là tia phân giác của góc ABC 

HÌNH VẼ HƠI LỆCH 1 TÍ NHA

CM: Xét t/giác ABE và t/giác DBE

có AB = BD (gt)

  góc BAE = góc BDE = 90 độ (gt)

    BE : chung

=> t/giác ABE = t/giác DBE (ch - cgv)

b) Ta có: t/giác ABE = t/giác DBE (cmt)

=> AE = ED  (hai cạnh tương ứng)

=> E thuộc đường trung trực của AD (t/c đường trung trực) (1)

Ta lại có: AB = BD (gt)

=> B thuộc đường trung trực của AD (2) (T/c đường trung trực)

Mà điểm B khác điểm E (3)  

Từ (1) ; (2); (3) suy ra BE là đường trung trực của AD

c) Ta có: t/giác ABE = t/giác DBE (cmt)

=> góc ABE = góc DBE (hai góc tương ứng)

=> BE là tia p/giác của góc ABD

hay BE là tia p/giác của t/giác ABC

1) Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có 

\(\widehat{ABH}\) chung

Do đó: ΔHBA\(\sim\)ΔABC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{AB}{BC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB^2=BH\cdot BC\)

có điểm kìa

a: Xét ΔAHE vuông tại H và ΔAKE vuông tại K có

AE chung

\(\widehat{HAE}=\widehat{KAE}\)

Do đó: ΔAHE=ΔAKE

Suy ra: AH=AK

b: Ta có: AH=AK

EH=EK

Do đó: AE là đường trung trực của HK

hay AE⊥HK

mà ΔAHK cân tại A

nên I là trung điểm của HK

=>IK=IH

mà IK<KE

nên IH<KE