a: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\)

b: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔBAC vuông tại B có

\(\widehat{HAB}\) chung

Do đó: ΔHAB~ΔBAC

=>\(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(AB^2=AH\cdot AC\)

Sửa đề: BH cắt AD tại I

d: Ta có: \(\widehat{HIA}+\widehat{IAH}=90^0\)(ΔIHA vuông tại H)

\(\widehat{BDA}+\widehat{BAD}=90^0\)(ΔBAD vuông tại B)

mà \(\widehat{IAH}=\widehat{BAD}\)

nên \(\widehat{HIA}=\widehat{BDA}\)

=>\(\widehat{HIA}=\widehat{BDI}\)

mà \(\widehat{HIA}=\widehat{BID}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{BDI}=\widehat{BID}\)

=>ΔBDI cân tại B

1:

BC=15+20=35cm

AD là phân gíac

=>AB/BD=AC/CD

=>AB/3=AC/4=k

=>AB=3k; AC=4k

AB^2+AC^2=BC^2

=>25k^2=35^2

=>k=7

=>AB=21cm; AC=28cm

AH=21*28/35=16,8cm

\(AD=\dfrac{2\cdot21\cdot28}{21+28}\cdot cos45=12\sqrt{2}\left(cm\right)\)

2:

BC=căn 12^2+16^2=20cm

HB=AB^2/BC=12^2/20=7,2cm

HC=20-7,2=12,8cm

a: BC^2=AB^2+AC^2

=>ΔABC vuông tại A

b: Xét ΔBAC có BD là phân giác

nen AD/BA=DC/BC

=>AD/3=DC/5=12/8=1,5

=>AD=4,5cm; DC=7,5cm

d: góc AID=góc BIH=90 độ-góc DBC

góc ADI=90 độ-góc ABD

mà góc DBC=góc ABD

nên góc AID=góc ADI

=>ΔAID cân tại A

a: Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay BC=15(cm)

Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC

nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\)

hay \(\dfrac{BD}{9}=\dfrac{CD}{12}\)

mà BD+CD=15cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được

\(\dfrac{BD}{9}=\dfrac{CD}{12}=\dfrac{15}{21}=\dfrac{5}{7}\)

Do đó: \(BD=\dfrac{45}{7}cm;CD=\dfrac{60}{7}cm\)

*Xét tam giác HBE đồng dạng với tam giác ABD (gg) có ABD=HBD và BHE=BAD=90

=>BH/BE=AB/BD=>  BH.BD=BE.BA

*có AED=BEH(đối đỉnh)  mà BEH + HBE =90 Hay AED+ABD =90( ABD=HBE) 1

Mặt khác ABD+BDA=90 2 

Từ 1 và 2 =>AED=ADE

suy ra tam giác AED cân

nhớ k 

ΔABC vuông tại A

=>BC^2=AB^2+AC^2

=>\(BC=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên BD/AB=CD/AC

=>BD/3=CD/4

mà BD+CD+15

nên \(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{4}=\dfrac{BD+CD}{3+4}=\dfrac{15}{7}\)

=>BD=45/7(cm)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos\left(\dfrac{BAC}{2}\right)\)

\(=\dfrac{2\cdot9\cdot12}{9+12}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{36\sqrt{2}}{7}\left(cm\right)\)

ΔABC vuông tại A có AK là đường cao

nên AK*BC=AB*AC

=>AK*15=12*9=108

=>AK=7,2cm

ΔAKD vuông tại K

=>AK^2+KD^2=AD^2

=>KD^2=AD^2-AK^2=1296/1225

=>KD=36/35(cm)

a: BC^2=AB^2+AC^2

=>ΔABC vuông tại A

b: BD là phân giác

=>AD/AB=CD/BC

=>AD/3=CD/5=(AD+CD)/(3+5)=12/8=1,5

=>AD=4,5cm; CD=7,5cm

d: góc ADI=90 độ-góc ABD

góc AID=góc BIH=90 độ-góc DBC

mà góc ABD=góc DBC

nên góc ADI=góc AID

=>ΔAID cân tại A

3: 

\(BC=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

HB=12^2/20=7,2cm

=>HC=20-7,2=12,8cm

\(AD=\dfrac{2\cdot12\cdot16}{12+16}\cdot cos45=\dfrac{48\sqrt{2}}{7}\)

\(HD=\sqrt{AD^2-AH^2}=\dfrac{48}{35}\left(cm\right)\)