a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

góc B chung

Do đó:ΔABC\(\sim\)ΔHBA

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\left(cm\right)\)

\(BH=\dfrac{AB^2}{BC}=3.6\left(cm\right)\)

b: Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(HN^2=NA\cdot NC\)

a: Xét ΔBAH vuông tại H và ΔBCA vuông tại A có

góc B chung

=>ΔBAH đồng dạng với ΔBCA

\(CB=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

HB=6^2/10=3,6cm

b: ΔHAC vuông tại H có HN vuông góc AC

nên HN^2=NA*NC

a) Xét ΔAHD vuông tại H và ΔDCB vuông tại C có 

\(\widehat{ADH}=\widehat{DBC}\)(hai góc so le trong, AD//BC)

Do đó: ΔAHD∼ΔDCB(g-g)

b) Xét ΔADH vuông tại H và ΔBDA vuông tại A có 

\(\widehat{ADH}\) chung

Do đó: ΔADH∼ΔBDA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{DH}{DA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AD^2=DH\cdot DB\)

mà AD=BC(ABCD là hcn)

nên \(BC^2=DH\cdot DB\)

2: Xét tứ giác AHEB có 

\(\widehat{HAB}\) và \(\widehat{HEB}\) là hai góc đối

\(\widehat{HAB}+\widehat{HEB}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AHEB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Suy ra: \(\widehat{HAE}=\widehat{HBE}\)(hai góc cùng nhìn cạnh HE)

hay \(\widehat{HBC}=\widehat{EAC}\)(đpcm)

1: Xét ΔABC vuông tại A và ΔEHC vuông tại E có 

\(\widehat{HCE}\) chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔEHC(g-g)

3: Ta có: AHEB là tứ giác nội tiếp(cmt)

nên \(\widehat{EAB}=\widehat{EHB}\)(hai góc cùng nhìn cạnh EB)

hay \(\widehat{IHE}=\widehat{IAB}\)

Xét ΔIHE và ΔIAB có 

\(\widehat{IHE}=\widehat{IAB}\)(cmt)

\(\widehat{HIE}=\widehat{AIB}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIHE\(\sim\)ΔIAB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{HE}{AB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB\cdot HI=AI\cdot HE\)(đpcm)