\(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{2x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{7x}{4y}+\left(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}-2\right)\)

Áp dụng BĐT Cô - Si cho các số dương :
\(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{4y}.\frac{y}{x}}=1\)

\(\frac{7x}{4y}\ge\frac{7.2y}{4y}=\frac{7}{2}\) do \(x\ge2y\)

Do đó : \(P\ge\frac{7}{2}+1-2=\frac{5}{2}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{5}{2}\) khi x\(=2y\)

Chúc bạn học tốt !!!

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(\frac{3}{x}+\frac{9}{y}\ge2\sqrt{\frac{3}{x}\cdot\frac{9}{y}}=2\sqrt{\frac{27}{3}}=6\)(1)

\(3x+y\ge2\sqrt{3xy}=6\)=> \(\frac{26}{3x+y}\le\frac{13}{3}\)<=> \(-\frac{26}{3x+y}\ge-\frac{13}{3}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{3}{x}+\frac{9}{y}-\frac{26}{3x+y}\ge6-\frac{13}{3}=\frac{5}{3}\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{3}{x}=\frac{9}{y}\\3x=y\\xy=3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)

Vậy GTNN của P = 5/3

Bài 1:
\(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{2x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{7x}{4y}+(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x})-2\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

\(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x}{4y}.\frac{y}{x}}=1\)

\(\frac{7x}{4y}\geq \frac{7.2y}{4y}=\frac{7}{2}\) do $x\geq 2y$

Do đó: \(P\geq \frac{7}{2}+1-2=\frac{5}{2}\)

Vậy $P_{\min}=\frac{5}{2}$ khi $x=2y$

Bài 2:
\(P=\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{\frac{1}{4}}+\frac{1}{4(x^2+y^2)}=4(x^2+y^2)+\frac{1}{4(x^2+y^2)}\)

Áp dụng BĐT Cô-si :

\(\frac{x^2+y^2}{4}+\frac{1}{4(x^2+y^2)}\geq 2\sqrt{\frac{x^2+y^2}{4}.\frac{1}{4(x^2+y^2)}}=\frac{1}{2}(1)\)

\(x^2+y^2\geq 2\sqrt{x^2y^2}=2|xy|=2.\frac{1}{2}=1\)

\(\Rightarrow \frac{15(x^2+y^2)}{4}\geq \frac{15}{4}(2)\)

Lấy \((1)+(2)\Rightarrow P\geq \frac{15}{4}+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Bài 3:

Có: \(a^2+\frac{18}{\sqrt{a}}=\frac{7}{16}a^2+\frac{9}{16}a^2+\frac{18}{\sqrt{a}}\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\frac{9}{16}a^2+\frac{18}{\sqrt{a}}\geq 2\sqrt{\frac{9}{16}a^2.\frac{18}{\sqrt{a}}}=\frac{9}{2}\sqrt{2a\sqrt{a}}\geq \frac{9}{2}\sqrt{2.4\sqrt{4}}=18(1)\) do $a\geq 4$

\(\frac{7}{16}a^2\geq \frac{7}{16}.4^2=7(2)\) do $a\geq 4$

Lấy \((1)+(2)\Rightarrow a^2+\frac{18}{\sqrt{a}}\geq 7+18=25\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=4$

Từ điều kiện bài toán ta có

\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}\ge1\\x-y\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}\ge1\\x^2-2xy+y^2\ge0\end{cases}}\)

Thế vào ta được

\(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}\ge\frac{x^2}{xy}=\frac{x}{y}\ge1\)

Dấu = xảy ra khi x = y

mk co nen nghe ban than da tung phan boi mk ko... 

Ta có \(x^2+y^2\ge2xy\)=>\(xy\le\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{A}=\frac{1}{-2xy}-\frac{1}{2}\le-1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\)

=> \(A\ge-\frac{2}{3}\)

\(MinA=-\frac{2}{3}\)khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Trần Phúc Khang: bài này cần gì phải làm phức tạp vậy a

c/m: \(xy\le\frac{1}{2}\)( như bài Trần Phúc Khang)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(A=\frac{-2xy}{1+xy}\ge\frac{-2.\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{1}{\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

KL:.............................