Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(x+y+z\le6\).
Tìm GTNN của biểu thức \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\).
Những câu hỏi liên quan
cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=2. Tìm GTNN của biểu thức\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia dạng phân thức cho 3 số ta có:
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{matrix}\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{y}{z+x}=\dfrac{z}{x+y}\\x,y,z>0;x+y+z=2\end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Đúng 4
Bình luận (0)
Áp dụng BĐT Svac-xơ cho 3 số dương có :
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2.\left(x+y+z\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Vậy Min biểu thức cho là 1 khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Tìm GTNN của biểu thức \(A=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)
Cho x,y,z lớn hơn 0 thỏa mãn 13x+5y+12z=9. Tìm GTLN của biểu thức \(b=\dfrac{xy}{2x+y}+\dfrac{3yz}{2y+z}+\dfrac{6zx}{2z+x}\)
Giúp mk nhanh nhé mọi người ơi
Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiên \(x+y+z\le6\). Tìm GTLN cuả biểu thức
\(S=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\).
Giá trị lớn nhất là 2
Ta có \(S=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)\(=\dfrac{x+1-1}{x+1}+\dfrac{y+1-1}{y+1}+\dfrac{z+1-1}{z+1}\)\(=1-\dfrac{1}{x+1}+1-\dfrac{1}{y+1}+1-\dfrac{1}{z+1}\)\(=3-\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\right)\)
Ta chứng minh BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) với \(a,b,c>0\)
Thật vậy, áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \(a,b,c\), ta có \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
Ta cũng có \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
Như vậy \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=9\)
Vậy BĐT phụ được chứng minh. Từ đó \(S\le3-\dfrac{9}{x+1+y+1+z+1}=3-\dfrac{9}{\left(x+y+z\right)+3}\)
Lại có \(x+y+z\le6\) \(\Rightarrow S\le3-\dfrac{9}{6+3}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Vậy GTLN của S là 2 khi \(x=y=z=2\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x + y +z = xyz .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = \(\dfrac{y+2}{x^2}+\dfrac{z+2}{y^2}+\dfrac{x+2}{z^2}\)
Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(x+y+z\le\dfrac{3}{2}\) . Tìm GTNN của biểu thức
\(P=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}}\).
Giá trị nhỏ nhất là 3 căn 7 trên 2
\(\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
27 tháng 5 2022 lúc 11:13
cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x2≥y+z .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = \(\dfrac{1}{x^2}\left(y^2+z^2\right)+\dfrac{7x^2}{2}\left(\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)+2007\)
Lời giải:
Sửa: $x^2\geq y^2+z^2$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$P\geq \frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{7x^2}{2}.\frac{4}{y^2+z^2}+2007$
$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{14x^2}{y^2+z^2}+2007$
$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$
$\geq 2+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$ (áp dụng BĐT Cô-si)
$\geq 2+13+2007=2022$ (do $x^2\geq y^2+z^2$)
Vậy $P_{\min}=2022$
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z = 2. Tìm GTNN của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}\)
\(P=\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{y}.\dfrac{4}{x+z}=\dfrac{4}{y\left(x+z\right)}\ge\dfrac{4}{\dfrac{\left(y+x+z\right)^2}{4}}=4\)
\(P_{min}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2}\right)\)
Đúng 1
Bình luận (2)
Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện
\(\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{y}+\dfrac{4}{z}\le12\).
Tìm GTLN của biểu thức \(S=\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{2}{y+x}+\dfrac{3}{z+y}\).
Giá trị lớn nhất là 3
Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(x+y+z\ge6\) .
Tìm GTNN của biểu thức
\(S=\dfrac{x^2+y^2}{x+y}+\dfrac{y^2+z^2}{y+z}+\dfrac{z^2+x^2}{z+x}\).
Gia trị nhỏ nhất là 6