áp dụng bđt cô si  ta có:

\(\left(x+y\right)+4\ge4\sqrt{x+y};\left(y+z\right)+4\ge4\sqrt{y+z};\left(z+x\right)+4\ge4\sqrt{z+x}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)+12\ge4\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)\)

\(\Rightarrow24\ge4\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)\Rightarrow6\ge\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(y+2\ge\left(2-x\right)\left(2-z\right)\left(2-y\right)\).

Theo bất đẳng thức AM - GM: \(\left(2-x\right)\left(2-z\right)\le\dfrac{\left(4-x-z\right)^2}{4}=\dfrac{\left(2-y\right)^2}{4}\).

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(y+2\ge\dfrac{\left(2-y\right)^3}{4}\).

Mặt khác, bđt trên tương đương: \(\dfrac{y\left[\left(y-3\right)^2+7\right]}{4}\ge0\) (luôn đúng).

Do đó bđt ban đầu cũng đúng.

Đẳng thức xảy ra khi y = 0; x = z = 1.

Ta có \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\Leftrightarrow x^2+y^2+y^3\ge x^3+y^2+y^4\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có \(y^4+y^2\ge2y^3\)

\(\Rightarrow x^2+y^3+y^2\ge x^3+2y^3\)

\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2\left(1\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz ta có 

\(\left(x^2+y^2\right)^2\le\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{x^3}\right)^2+\left(\sqrt{y^3}\right)^2\right]=\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)

                         \(\le\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\le x+y\left(2\right)\)

Lại có

\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\le2\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow x+y\le2\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) => đpcm

Đối với bài này ta cũng có thể chia các khoảng giá trị để chứng minh 

(Nhưng hơi dài và khó hiểu nên mình k làm ) 

Học tốt!!!!!!!!!

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^2+y^3\geq x^3+y^4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+y^3\geq x^3+y^4+y^2\geq x^3+2\sqrt{y^6}=x^3+2y^3\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\geq x^3+y^3(1)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x+y^2)(x^2+y^3)\geq (x+y^2)(x^3+y^4)\geq (x^2+y^3)^2\)

\(\Rightarrow x+y^2\geq x^2+y^3\)

\(\Rightarrow x+y+y^2\geq x^2+y^3+y\geq x^2+2\sqrt{y^4}=x^2+2y^2\) (AM-GM)

\(\Rightarrow x+y\geq x^2+y^2\) (2)

Lại áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}\) . Suy ra \(x+y\geq x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}\)

\(\Rightarrow 1\geq \frac{x+y}{2}\Rightarrow x+y\leq 2(3)\)

Từ $(1),(2),(3)$ suy ra \(x^3+y^3\leq x^2+y^2\leq x+y\leq 2\)

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$