Question

Cho các số dương x, y thỏa mãn điều kiện \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\). Chứng minh: \(x^3+y^3\le x^2+y^2\le x+y\le2\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^2+y^3\geq x^3+y^4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+y^3\geq x^3+y^4+y^2\geq x^3+2\sqrt{y^6}=x^3+2y^3\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\geq x^3+y^3(1)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x+y^2)(x^2+y^3)\geq (x+y^2)(x^3+y^4)\geq (x^2+y^3)^2\)

\(\Rightarrow x+y^2\geq x^2+y^3\)

\(\Rightarrow x+y+y^2\geq x^2+y^3+y\geq x^2+2\sqrt{y^4}=x^2+2y^2\) (AM-GM)

\(\Rightarrow x+y\geq x^2+y^2\) (2)

Lại áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}\) . Suy ra \(x+y\geq x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}\)

\(\Rightarrow 1\geq \frac{x+y}{2}\Rightarrow x+y\leq 2(3)\)

Từ $(1),(2),(3)$ suy ra \(x^3+y^3\leq x^2+y^2\leq x+y\leq 2\)

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$