\(x^3y+xy^3=xy\left(x^2+y^2\right)\le\dfrac{\left(x^2+y^2\right)}{2}\left(x^2+y^2\right)\)\(=\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\).
Áp dụng bất đẳng thức: \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\) ta suy ra:\(x^4+y^4\ge\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\).
Theo tính chất bắc cầu của bất đẳng thức ta suy ra:
\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\).

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{2-2xy}{2+x^2+y^2}+\frac{2x^2-2y}{1+2x^2+y^2}+\frac{2y^2-2x}{1+x^2+2y^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{2-2xy}{2+x^2+y^2}+1-\frac{2x^2-2y}{1+2x^2+y^2}+1-\frac{2y^2-2x}{1+x^2+2y^2}\le3\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{2+x^2+y^2}+\frac{\left(y+1\right)^2}{1+2x^2+y^2}+\frac{\left(x+1\right)^2}{1+x^2+2y^2}\le3\)(*)

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2+x^2+y^2}\le\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{y^2}{1+y^2}\)(1); \(\frac{\left(y+1\right)^2}{1+2x^2+y^2}\le\frac{y^2}{x^2+y^2}+\frac{1}{x^2+1}\)(2); \(\frac{\left(x+1\right)^2}{1+x^2+2y^2}\le\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+1}\)(3)

Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2+x^2+y^2}+\frac{\left(y+1\right)^2}{1+2x^2+y^2}+\frac{\left(x+1\right)^2}{1+x^2+2y^2}\le\)\(\left(\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}\right)+\left(\frac{1}{y^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}\right)+\left(\frac{1}{x^2+1}+\frac{x^2}{x^2+1}\right)=3\)

Như vậy (*) đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1

\(\frac{1-xy}{2+x^2+y^2}+\frac{x^2-y^2}{1+2x^2+y^2}+\frac{y^2-x}{1+x^2+2y^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1-xy+3x^2-2y^2-2y^2+x}{\left(1+x^2+y^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(1+x^2+y^2\right)+x^2}{1+x^2+y^2}\ge0\)

Vì x² và y² >0

\(\Rightarrow2+\frac{x^2}{1+x^2+y^2}\ge0\)(luôn đúng)

Bạn nhatt quynhh xem lại bài bạn đi nha. Phô diễn kỹ thuật tí:

Bài này đúng với mọi x, y là các số thực. Thật vậy\(,\)

Bất đẳng thức đã cho tương đương với: (vô thống kê hỏi đáp mình xem LaTex nha, tại olm bị lỗi LaTex)

Mình tự làm tận 1h nên hơi dài 1 tí nhưng chắc chắn đúng đó :))

Ta có: x² + y² + xy .- 3x - 3y + 3 = 0

     =>( x² - 2x + 1) - x + ( y² - 2y + 1) - y + xy + 1 = 0

     => (x-1)² + (y-1)² + ( -x + -y + xy +1) = 0

     => (x-1)² + (y-1)²  + [(-x+ xy) + (-y+1)] = 0

    => (x-1)² + (y-1)² + [ x(y-1) - (y-1)] = 0

    => (x-1)² + (y-1)² + (x-1)(y-1) = 0

    => (x-1)² +  2.1/2.(x-1)(y-1) + (1/2)².(y-1)² + 3/4.(y-1)² = 0

    => [x-1+1/2(y-1) ]² + 3/4.(y-1)²  = 0

   Vì: [x-1+1/2(y-1) ]²  >= 0 với mọi x;y thuộc R

         3/4.(y-1)^{2 >= 0 với mọi y thuộc R}

     => (x-1+1/2y -1/2 = 0) và ( y-1 = 0)

     => (x = 1/2 -1/2y+1) và (y=1)

      => x = y =1

Chỗ này thay giá trị vào biểu thức rồi chứng minh = cách chỉ ra các cơ số của từng lũy thừa là số nguyên là xong.

Ta có : x² + y² + z² - yz  - 4x - 3y + 7

= [x² - 4x + 4]+[\(\frac{1}{4}\)* y² - yz + z² ] + [ \(\frac{3}{4}\cdot(y^2-4y+4)]\)

= (x-2)^2 + (y/2 - z)^2 + 3/4.(y-2)^2 >= 0 

=> đpcm

Chúc bạn học tốt

Bạn có ghi nhầm đề không vậy?