a. Xét tam giác ABD vuông tại A và tam giác BED vuông tại E có:
BD : Cạnh chung 
Góc ABD = góc DBE (BD phân giác)
=> Tam giác ABD = tam giác BED (cạnh huyền - góc nhọn) 
b. Ta có BA = BE (Tam giác = tam giác câu a) 
=> tam giác BAE cân tại B. 
Lại có BD là phân giác tam giác BAE => BD vừa là phân giác vừa là đường trung trực của đoạn AE.
c. Xét tam giác EDC vuông tại E:
DE < DC (Cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền)
Mà DE = DA (Tam giác = tam giác câu a)
=> DA < DC. 
d. Xét tam giác ADF và tam giác EDC: 
DA = DE (tam giác = tam giác câu a)
DAF = DEC (=90 độ)
AF = EC (gt) 
=> Tam giác ADF = tam giác EDC (C.g.c)
=> ADF = EDC (góc tương ứng) 
Mặt khác : EDC + EDA = 180 độ .
Từ đó suy ra : EDA + ADF = 180 độ. 
Vậy E,D,F thẳng hàng.

Cách 1: Giải theo phương pháp bậc tiểu học (của bạn Ác Quỷ)

Ta có 

Mà dt(AMN) = 1/4 dt(ABN) = 1/4 . 1/2 dt(ABC) = 1/8 dt(ABC)

      dt(DMN) = dt(ABC) - dt(AMN) - dt(BDM) - dt(CDN) = dt(ABC) - 1/8 dt(ABC) - 3/8 dt(ABC) - 1/4 dt(ABC) = 1/4 dt(ABC)

Vậy , suy ra AE/AD = 1/3

Cách 2: Giải theo phương pháp bậc THCS (của bạn Lê Quang Vinh)

DN là đường trung bình của tam giác ABC => DN // AB và DN = 1/2 AB

DN // AB => Hai tam giác EAM và EDN đồng dạng => EA/ED = AM/DN = 1/2 (vì AM = 1/4 AB, DN = 1/2 AB)

=> AE/AD = 1/3

a) Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)FBD có

BAD=BFD (=90 độ)

ABD=FBD (BD là tia pg của ABC)

BD là cạnh chung

Do đó \(\Delta\)ABD=\(\Delta\)FBD(chgn)

b)Ta có  \(\Delta\)ABD=\(\Delta\)FBD(cmt)

\(\Rightarrow\)AB=FB(2 cạnh t/ứ)

\(\Rightarrow\Delta ABFcântạiB\)

Xét \(\Delta\)ABF cân tại B có : BD là pg ABC hay BD là pg ABF

\(\Rightarrow\)BD đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng À

c)Vì \(\Delta\) DFC vuông tại F

\(\Rightarrow\)cạnh huyền DC là cạnh lớn nhất của \(\Delta\) DFC

\(\Rightarrow\)DC>FD

Mà AD=FD (vì \(\Delta\)ABD=\(\Delta\)FBD)

Nên AD<DC

d) Xét \(\Delta\)ADE và \(\Delta\)FDC có

          DAE=DFC(=90 độ)

          AE=CF(gt)

          AD=FD(cmt)

Do đó\(\Delta\)ADE=\(\Delta\)FDC(2 cạnh góc vuông)

         \(\Rightarrow\)ADE=FDC(2 góc t./ứ)

Mà ADE+EDC=180 độ

     CDF+EDC=180 độ

Hay EDF=180 độ

\(\Rightarrow\)E,D,F thẳng hàng

a)xét ΔABD và ΔFED có:

\(\widehat{BAD}=\widehat{BFD}=90^o\)

BD là cạnh chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{FBD}\)(BD là phân giác của \(\widehat{ABF}\))

⇒ΔABD=ΔFED(c.huyền.g.nhọn)

b)gọi I là giao điểm của AF và BD

xét ΔABI và ΔFBI có:

BF=AB(ΔABD=ΔFED)

BI là cạnh chung

\(\widehat{ABI}=\widehat{FBI}\)(BD là phân giác của \(\widehat{ABF}\))

⇒ΔABI=ΔFBI(c-g-c)

⇒\(\widehat{BIA}=\widehat{BIF}\)(2 góc tương ứng)₍₁₎

Mà \(\widehat{BIA}+\widehat{BIF}=180^o\)(2 góc kề bù)₍₂₎

từ (1) và (2) ⇒\(\widehat{BIA}=\widehat{BIF}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

vì ΔABI=ΔFBI⇒IA=IF

Do đó:BD là trung trực của AF(đ.p.cm)

c)xét ΔDCF có

DC là cạnh huyền

⇒DC>DF

Mà DF=AD

⇒DC>AD

d)Ta có:

AB=DF(ΔABD=ΔFED)

Mà AE=FC

⇒AB+AE=DF+FC

hay BE=DC

xét ΔBDC và ΔBDE có:

BE=DC(ch/m trên)

\(\widehat{EBD}=\widehat{CBD}\)(BD là phân giác của \(\widehat{EBC}\))

BD là cạnh chung

⇒ ΔBDC=ΔBDE(c-g-c)

⇒\(\widehat{BDE}=\widehat{BDC}\)(2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{BDA}=\widehat{BDF}\)(ΔABD=ΔFED)

⇒\(\widehat{BDE}-\widehat{BDA}=\widehat{BDC}-\widehat{BDF}\)

hay \(\widehat{ADE}=\widehat{FDC}\)(đ.p.cm)

ta có:\(\widehat{ADE}+\widehat{CDE}=180^o\)(2 góc kề bù)

Mà \(\widehat{ADE}=\widehat{FDC}\) ⇒\(\widehat{FDC}+\widehat{CDE}=180^o\) 

hay E,D,F thẳng hàng(đ.p.cm)

e) vì AC vuông góc vs BK , KE ( kéo dài ED)vuông góc với BC mà AC và KE cắt nhau tại D => D là trực tâm của tam giác KBC => BD vuoogn góc với KC ( 1 ) .M là trung điểm của KC => BM là đường cao đồng thời là đường trung trực của tam giác KBC ( 2 ) . từ  ( 1 ) và ( 2 ) => B, D , M thằng hàng

a) Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có 

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABE}\))

Do đó: ΔBAD=ΔBED(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: BA=BE(Hai cạnh tương ứng)

Xét ΔABE có BA=BE(cmt)

nên ΔBAE cân tại B(Định nghĩa tam giác cân)

b) Ta có: ΔBAD=ΔBED(cmt)

nên AD=ED(Hai cạnh tương ứng)

Ta có: BA=BE(cmt)

nên B nằm trên đường trung trực của AE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: AD=ED(cmt)

nên D nằm trên đường trung trực của AE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra DB là đường trung trực của AE(đpcm)

ccccc

 a) 

$\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có:
BA = BE (gt)
ˆB1=ˆB2B1^=B2^ (BD là tia phân giác góc B)
BD là cạnh chung
$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta EBD$ (c.g.c)

$\Rightarrow$ ˆBAD=ˆBEDBAD^=BED^ (hai góc tương ứng)
ˆBADBAD^ $={}^{}$
$\Rightarrow$ˆBEDBED^ $={}^{}$
$\Rightarrow$ DE $\perp$ BE

b) $\Delta ABI$ và $\Delta EBI$ có: