Kẻ MD vuông góc với AB, ME vuông góc với AC

Xét ΔADM vuông tại D và ΔAEM vuông tại E có

AM chung

\(\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\)

Do đó: ΔADM=ΔAEM

Suy ra: AD=AE và MD=ME

Xet ΔDBM vuông tại D và ΔECM vuông tại E có

MB=MC

MD=ME

Do đó:ΔDBM=ΔECM

Suy ra: BD=EC

Ta có: AD+BD=AB

AE+EC=AC

mà AD=AE

và BD=CE

nên AB=AC

hay ΔABC cân tại A

a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

BE=CF

\(\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\)

Do đó: ΔABE=ΔACF
SUy ra: AB=AC

hay ΔABC cân tại A

b: Xét ΔAFH vuông tại F và ΔAEH vuông tại E có

AH chung

AE=AF

Do đó: ΔAFH=ΔAEH

Suy ra: \(\widehat{FAH}=\widehat{EAH}\)

hay AH là tia phân giác của góc BAC

Khai bút thoi nào,hy vọng năm mới nhiều may mắn  :)

Ký hiệu như hình vẽ nhá :)

Áp dụng định lý đường phân giác ta có:

\(\frac{CE}{CA}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{CE}{CA+CE}=\frac{a}{a+c}\Rightarrow\frac{CE}{b}=\frac{a}{a+c}\Rightarrow CE=\frac{ab}{a+c}\)

Áp dụng định lý đường phân giác lần nữa:

\(\frac{BO}{OE}=\frac{BC}{CE}=a\cdot\frac{a+c}{ab}=\frac{a+c}{b}\Rightarrow\frac{BO}{OE+OB}=\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{BO}{BE}\)

Chứng minh tương tự:\(\frac{CO}{CF}=\frac{a+b}{a+b+c}\)

Mà \(\frac{BO}{BE}\cdot\frac{CO}{CF}=\frac{1}{2}\) nên \(\frac{a+c}{a+b+c}\cdot\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow2a^2+2ab+2ac+2cb=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2\)

=> đpcm

zZz Cool Kid_new zZz olm giờ nát vậy sao em :(

JUNPHAM2018 đúng rồi !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Áp dụng định lý dường phân giác: "Trong tam giác đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành 2 đoạn thảng tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy"

Xét tg BCE có 

\(\frac{BO}{EO}=\frac{BC}{CE}\Rightarrow\frac{BO}{BC}=\frac{EO}{CE}=\frac{BO+EO}{BC+CE}=\frac{BE}{BC+CE}\Rightarrow\frac{BO}{BE}=\frac{BC}{BC+CE}\) 

Xét tg BCF có

\(\frac{CO}{FO}=\frac{BC}{BF}\Rightarrow\frac{CO}{BC}=\frac{FO}{BF}=\frac{CO+FO}{BC+BF}=\frac{CF}{BC+BF}\Rightarrow\frac{CO}{CF}=\frac{BC}{BC+BF}\)

\(\Rightarrow\frac{BO}{BE}.\frac{CO}{CF}=\frac{BC.BC}{\left(BC+CE\right)\left(BC+CF\right)}=\frac{BC^2}{\left(BC+CE\right)\left(BC+BF\right)}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow2.BC^2=\left(BC+CE\right)\left(BC+BF\right)=BC^2+BC.BF+BC.CE+CE.CE\)

\(\Rightarrow BC^2=BC.BF+BC.CE+CE.BF\) (*)

Xét tg ABC cũng áp dụng định lý đường phân giác có

\(\frac{BF}{AF}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow\frac{BF}{BC}=\frac{AF}{AC}=\frac{BF+AF}{BC+AC}=\frac{AB}{BC+AC}\Rightarrow BF=\frac{BC.AB}{BC+AC}\)  (1)

\(\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB}\Rightarrow\frac{CE}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{CE+AE}{BC+AB}=\frac{AC}{BC+AB}\Rightarrow CE=\frac{BC.AC}{BC+AB}\) (2)

Thay (1) và (2)  vào (*) ta có

\(BC^2=\frac{BC.BC.AB}{BC+AC}+\frac{BC.BC.AC}{BC+AB}+\frac{BC.AC.BC.AB}{\left(BC+AB\right)\left(BC+AC\right)}\)

\(\Rightarrow1=\frac{AB}{BC+AC}+\frac{AC}{BC+AB}+\frac{AC.AB}{\left(BC+AB\right)\left(BC+AC\right)}\)

=> (BC+AB)(BC+AC)=AB(BC+AB)+AC(BC+AC)+AB.AC

=> BC²+AC.BC+AB.BC+AB.AC=AB.BC+AB²+AC.BC+AC²+AB.AC => BC²=AB²+AC²

=> tam giác ABC vuông tại A (định lí pitago đảo)

a) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(g-g)

b) Ta có: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(cmt)

nên \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có 

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(cmt)

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC(c-g-c)