Gọi AE là phân giác góc A( E thuộc CD), CF là phân giác góc C ( F thuộc AB )

H là giao điểm của DA và CF.

Xét \(\Delta DHC\)và \(\Delta BCF\)có:

\(\widehat{B}=\widehat{D}=90^o\)

\(\widehat{DCH}=\widehat{BCF}\left(gt\right)\)

Suy ra \(\Delta DHC\)đồng dạng với \(\Delta BCF\)(g.g)

\(\Rightarrow\widehat{DHC}=\widehat{BFC}\)

Mà \(\widehat{AFH}=\widehat{BFC}\)(ĐỐI ĐỈNH)

nên \(\widehat{AFH}=\widehat{DHC}\)hay \(\widehat{AFH}=\widehat{AHF}\)

Ta có:

\(\widehat{DAF}\)là góc ngoài của \(\Delta AHF\)

\(\Rightarrow\widehat{DAF}=\widehat{AHF}+\widehat{AFH}\)

\(\Leftrightarrow2.\widehat{AFH}=\widehat{DAF}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AFH}=\widehat{\frac{DAF}{2}=\widehat{BAE}}\)

Mà \(\widehat{AFH}=\widehat{BFC}\)(ĐỐI ĐỈNH) nên \(\widehat{BAE}=\widehat{BFC}\)

\(\Rightarrow AE\)//\(CF\)(Vì có hai góc so le trong bằng nhau)

Vậy AE//CF

TH1: ABCD không phải là hình thoi hoặc hình vuông

Gọi BM,DN lần lượt là phân giác của \(\widehat{ABC};\widehat{ADC}\)

Xét tứ giác ABCD có

\(\widehat{BAD}+\widehat{ABC}+\widehat{BCD}+\widehat{ADC}=360^0\)

=>\(2\cdot\left(\widehat{NBM}+\widehat{NDM}\right)=360^0-\widehat{A}-\widehat{C}=360^0-2\cdot\widehat{C}\)

=>\(\widehat{NBM}+\widehat{NDM}=180^0-\widehat{C}\)(1)

Xét ΔCMB có

\(\widehat{C}+\widehat{CMB}+\widehat{CBM}=180^0\)

=>\(\widehat{CMB}+\widehat{NBM}=180^0-\widehat{C}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{NDM}=\widehat{CMB}\)

mà hai góc này ở vị trí đồng vị

nên BM//DN (ĐPCM)

TH2: ABCD là hình thoi hoặc hình vuông

ABCD là hình thoi

=>BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) và DB là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\)

=>Các đường phân giác của góc B và góc D trùng nhau

1: