Δ=(2m+2)^2-4*4m

=4m^2+8m+4-16m

=4m^2-8m+4=(2m-2)^2

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 2m-2<>0

=>m<>1

x1+x2>2 và x1x2>1

=>2m+2>2 và 4m>1

=>m>1/4

Lời giải:

Để pt có 1 nghiệm $x=-1$ thì:

$(-1)^2-2(m-1)(-1)+m-5=0$

$\Leftrightarrow 1+2(m-1)+m-5=0$

$\Leftrightarrow m=2$

Khi đó, pt trở thành:

$x^2-2x-3=0$

$\Leftrightarrow (x+1)(x-3)=0$

$\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=3$
Vậy nghiệm còn lại là $x=3$

PT có 2 nghiệm phân biệt
`<=>Delta'>0`
`<=>(m-1)^2-(m+1)>0`
`<=>m^2-2m+1-m-1>0`
`<=>m^2--3m>0`
`<=>m(m-3)>0`
`<=>` $\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}m>0\\m-3>0\\\end{cases}\\\begin{cases}m<0\\m-3<0\\\end{cases}\end{array} \right.$
`<=>` $\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}m>0\\m>3\\\end{cases}\\\begin{cases}m<0\\m<3\\\end{cases}\end{array} \right.$
`<=>` $\left[ \begin{array}{l}m>3\\m<0\end{array} \right.$
Vậy m>3 or m<0 thì PT có 2 nghiệm phân biệt

Sửa đề: \(\left(m-1\right)x^2+3mx-4m+1=0\)

Ta có: \(\Delta=\left(3m\right)^2-4\cdot\left(-4m+1\right)\left(m-1\right)=9m^2-4\left(-4m^2+4m+m-1\right)\)

\(=9m^2+16m^2-20m+4\)

\(=25m^2-20m+4\)

\(=\left(5m-2\right)^2\ge0\forall m\)

hay phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-3m}{m-1}\\x_1\cdot x_2=\dfrac{-4m+1}{m-1}\end{matrix}\right.\)

Vì \(x_1+x_2=\dfrac{-3m}{m-1}\) và \(2x_1=3x_2\) nên ta lập được hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-3m}{m-1}\\2x_1-3x_2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1+2x_2=\dfrac{-6m}{m-1}\\2x_1-3x_2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x_2=\dfrac{-6m}{m-1}\\x_1+x_2=\dfrac{-3m}{m-1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{-6m}{5m-5}\\x_1=\dfrac{-9m}{5m-5}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1\cdot x_2=\dfrac{-4m+1}{m-1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-6m}{5m-5}\cdot\dfrac{-9m}{5m-5}=\dfrac{-4m+1}{m-1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{54m^2}{5m-5}=\dfrac{-20m+5}{5m-5}\)

Suy ra: \(54m^2+20m-5=0\)

\(\Delta=20^2-4\cdot54\cdot\left(-5\right)=1480\)

Đến đây bạn tự làm tiếp nhé, chỉ cần tìm m và so sánh với ĐK m khác 1 thôi

TH1: m=-1

=>x+(-1)^3-(-1)=0

=>x-1+1=0

=>x=0

=>Nhận

TH2: m<>-1

Δ=(-m^3)^2-4*(m+1)(m^3-m)

=m^6-4(m^4-m^2+m^3-m)

=m^6-4m^4+4m^2-4m^3+4m

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì m^6-4m^4-4m^3+4m^2+4m=0

=>\(m\in\left\{\text{− 0.79168509 , 1.08715371 , 2.14211518}\right\}\)

Có\(\Delta=4\left(m+1\right)^2-4\left(2m-3\right)=4m^2+16>0\forall m\)

=> pt luôn có hai nghiệm pb

Theo viet có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

Có :\(P^2=\left(\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right)^2=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)

\(=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{4\left(m+1\right)^2-4\left(2m-3\right)}=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{4m^2+16}\)\(\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge0\)

Dấu = xảy ra khi m=-1

\(\Delta=\left(4m-1\right)^2-4\left(2m+3\right)=16m^2-8m+4-8m-12\)

\(=16m^2-16m-8\)

Để pt có 2 nghiệm pb \(2m^2-2m-1>0\)

\(\Delta=\left(4m-1\right)^2-4\left(2m+3\right)=16m^2-8m+1-8m-12\)

\(=16m^2-16m-11\)

Để pt có 2 nghiệm pb khi \(16m^2-16m-11>0\)