Xét  △ ABO và  △ DCO,ta có:

∠ (BAO) =  ∠ (BDC) (gt)

Hay  ∠ (BAO) =  ∠ (ODC)

∠ (AOB) =  ∠ (DOC) (đối đỉnh)

Vậy  △ ABO đồng dạng  △ DCO (g.g)

Vì  △ ABO đồng dạng  △ DCO nên:

∠ B 1 = ∠ C 1 (1)

Mà  ∠ C 1 = ∠ C 2  =  ∠ (BCD) =  90 0  (2)

Trong  △ ABD, ta có:  ∠ A = 90 0

Suy ra:  ∠ B 1 = ∠ D 2  =  90 0 (3)

Từ (1), (2) và (3): Suy ra:  ∠ C 2 = ∠ D 2

Xét  △ BCO và  △ ADO, ta có:

∠ C 2 = ∠ D 2  (chứng minh trên)

∠ (BOC) =  ∠ (AOD) (đối đỉnh)

Vậy  △ BOC đồng dạng △ ADO (g.g).

Xét ΔABO vuông tại O và ΔDCO vuông tại O có

góc BAO=góc CDO

=>ΔABO đồng dạng với ΔDCO

Xét ΔBCO vuông tại O và ΔADO vuông tại O có

góc OBC=góc OAD

=>ΔBCO đồng dạng với ΔADO

Xét ΔAED vuông tại E và ΔCFB vuông tại F có

AD=CB(Hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)

\(\widehat{D}=\widehat{B}\)(Hai góc đối của hình bình hành ABCD)

Do đó: ΔAED=ΔCFB(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: AE=CF(Hai cạnh tương ứng) và ED=FB(hai cạnh tương ứng)

Ta có: ED+EC=DC(E nằm giữa D và C)

FB+FA=AB(F nằm giữa A và B)

mà AB=DC(Hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)

và ED=FB(cmt)

nên EC=FA

Xét tứ giác ECFA có 

EC=FA(cmt)

EA=CF(cmt)

Do đó: ECFA là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b: Xét ΔDKO vuông tại K và ΔBHO vuông tại H có

OD=OB

\(\widehat{DOK}=\widehat{BOH}\)

Do đó: ΔDKO=ΔBHO

Suy ra: DK=BH

Xét tứ giác BKDH có 

DK//BH

DK=BH

Do đó: BKDH là hình bình hành