\(u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{u_n+4}\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{u_n}\)

Đặt \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}=2v_n+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}+\dfrac{1}{2}=2\left(v_n+\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(v_n+\dfrac{1}{2}=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{3}{2}\\x_{n+1}=2x_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_n\) là CSN với công bội 2 \(\Rightarrow x_n=\dfrac{3}{2}.2^{n-1}=3.2^{n-2}\)

\(\Leftrightarrow v_n=x_n-\dfrac{1}{2}=3.2^{n-2}-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{3.2^{n-2}-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3.2^{n-1}-1}\)

Cho \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=2u_n+6\end{matrix}\right.\)

Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau

\(u_{n+1}^2=\dfrac{u_n^2}{1+u_n^2}\Rightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}^2}=\dfrac{1}{u_n^2}+1\)

Đặt \(\dfrac{1}{u_n^2}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{1}{2018^2}\\v_{n+1}=v_n+1\end{matrix}\right.\)

\(v_n\) là cấp số cộng với công sai d=1 \(\Rightarrow v_n=\dfrac{1}{2018^2}+n-1\)

\(\Rightarrow u_n^2=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2018^2}-1}\)

\(u_n^2< \dfrac{1}{2018^2}\Rightarrow\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2018^2}-1}< \dfrac{1}{2018^2}\Rightarrow n...\)

1:

a: \(u_2=2\cdot1+3=5;u_3=2\cdot5+3=13;u_4=2\cdot13+3=29;\)

\(u_5=2\cdot29+3=61\)

b: \(u_2=u_1+2^2\)

\(u_3=u_2+2^3\)

\(u_4=u_3+2^4\)

\(u_5=u_4+2^5\)

Do đó: \(u_n=u_{n-1}+2^n\)

Dễ dàng nhận thấy \(u_n\) là dãy dương

Ta sẽ chứng minh \(u_n< 2\) ; \(\forall n\)

Với \(n=1\Rightarrow u_1=\sqrt{2}< 2\) (thỏa mãn)

Giả sử điều đó đúng với \(n=k\) hay \(u_k< 2\)

Ta cần chứng minh \(u_{k+1}< 2\)

Thật vậy, \(u_{k+1}=\sqrt{u_k+2}< \sqrt{2+2}=2\) (đpcm)

Do đó dãy bị chặn trên bởi 2

Lại có: \(u_{n+1}-u_u=\sqrt{u_n+2}-u_n=\dfrac{u_n+2-u_n^2}{\sqrt{u_n+2}+u_n}=\dfrac{\left(u_n+1\right)\left(2-u_n\right)}{\sqrt{u_n+2}+u_n}>0\) (do \(u_n< 2\))

\(\Rightarrow u_{n+1}>u_n\Rightarrow\) dãy tăng

Dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. Gọi giới hạn đó là k>0

Lấy giới hạn 2 vế giả thiết:

\(\lim\left(u_{n+1}\right)=\lim\left(\sqrt{u_n+2}\right)\Leftrightarrow k=\sqrt{k+2}\)

\(\Leftrightarrow k^2-k-2=0\Rightarrow k=2\)

Vậy \(\lim\left(u_n\right)=2\)

Xét \(\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{u_n+4}{2u_n}=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{4}{u_n}\right)\) (1)

Đặt \(\dfrac{1}{u_n}=x_n\)

(1) <=> \(x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(4x_n+1\right)=2x_n+\dfrac{1}{2}\)

<=> \(x_{n+1}+\dfrac{1}{2}=2\left(x_n+\dfrac{1}{2}\right)\) (2) 

Đặt \(x_n+\dfrac{1}{2}=t_n\)

(2) <=> t_n+1 = 2.t_n => q = 2

Có: \(t_n=t_1.2^{n-1}\)

Mà \(t_1=x_1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{u_1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)

=> \(t_n=\dfrac{3}{2}.2^{n-1}\)

=> \(x_n=\dfrac{3}{2}.2^{n-1}-\dfrac{1}{2}\)

=> \(u_n=\dfrac{2}{3.2^{n-1}-1}\)