a: Xét ΔABD vuông tại A và ΔHBD vuông tại H có

BD chung

góc ABD=góc HBD

=>ΔABD=ΔHBD

b: Xét ΔDAE vuông tại A và ΔDHC vuông tại H có

DA=DH

AE=HC

=>ΔDAE=ΔDHC

=>DE=DC

a)Vì tam giác abc cân ở a =>góc abc=góc acb.mà góc acb =góc ecn (đối đỉnh) =>góc abc=góc ecn.

Xét tam giác bmd và tam giác cne có :bd=ce; góc abc=góc ecn =>tam giác bmd =tam giác ecn(cạnh góc vuông và góc nhọn kề)

=>md=ne.

b)Vì dm và en cung vuông góc với bc =>dm song song với en=>góc dmc=góc enc(so le trong)

xét tam giác dim và tam giác ein có :góc dmc =góc enc;góc mid=góc nie(đối đỉnh);góc mdi=góc nei=90 độ=>tam giác dim=tam giác ein(g.g.g.)

=>di=ie=>i là trung điểm de

c)gọi h là giao của ao với bc.

ta có:xét tam giác abo bằng tam giác aco=>bo=co=>o thuộc trung trực của bc .tương tự a thuộc trung trực của bc=>ao là trung trực bc

Bạn có thể tham khảo ở đây nhé :

https://h.vn/hoi-dap/tim-kiem?q=Cho%2Btam%2Bgi%C3%A1c%2BABC%2Bc%C3%A2n%2Bt%E1%BA%A1i%2BA.%2BV%E1%BA%BD%2Btrung%2Btuy%E1%BA%BFn%2BAM%2Bt%E1%BB%AB%2BM%2Bk%E1%BA%BB%2BME%2Bvu%C3%B4ng%2Bg%C3%B3c%2Bv%E1%BB%9Bi%2BAB%2Bt%E1%BA%A1i%2BE.%2BK%E1%BA%BB%2BMF%2Bvu%C3%B4ng%2Bg%C3%B3c%2Bv%E1%BB%9Bi%2BAC%2Bt%E1%BA%A1i%2BF.%2BCh%E1%BB%A9ng%2Bminh:%2Ba)%2BTam%2Bgi%C3%A1c%2BBEM%2B=%2Btam%2Bgi%C3%A1c%2BCFM%2Bb)%2BAM%2Bl%C3%A0%2Btrung%2Btr%E1%BB%B1c%2Bc%E1%BB%A7a%2BEF%2Bc)%2BT%E1%BB%AB%2BB%2Bk%E1%BA%BB%2B%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng%2Bth%E1%BA%B3ng%2Bvu%C3%B4ng%2Bg%C3%B3c%2Bv%E1%BB%9Bi%2BAB%2Bt%E1%BA%A1i%2BB,%2Bt%E1%BB%AB%2BC%2Bk%E1%BA%BB%2B%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng%2Bvu%C3%B4ng%2Bg%C3%B3c%2Bv%E1%BB%9Bi%2BAC%2Bt%E1%BA%A1i%2BC.%2BHai%2B%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng%2Bn%C3%A0y%2Bc%E1%BA%AFt%2Bnhau%2Bt%E1%BA%A1i%2BD.%2BCh%E1%BB%A9ng%2Bminh%2BA,%2BM,%2BD%2Bth%E1%BA%B3ng%2Bh%C3%A0ng.%2B%2Bd,%2BSo%2Bs%C3%A1nh%2BME%2Bv%C3%A0%2BDC.%2B%2BHelp%2Bme!!!%2BMK%2Bc%E1%BA%A7n%2Bc%C3%A2u%2Bd%2Bthui!!!&id=247762

a ) Vì AM là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow M\)là trung điểm của BC 

\(\Rightarrow BM=CM\)

+ Vì \(\Delta ABC\)cân tại A (gt)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)( tính chất của tam giác cân )

Hay \(\widehat{EBM}=\widehat{FCM}\)

Xét 2 \(\Delta\)vuông BEM và CFM có :

\(\widehat{BEM}=\widehat{CFM}=90^0\left(gt\right)\)

\(BM=CM\left(cmt\right)\)

\(\widehat{EBM}=\widehat{FCM}\left(cmt\right)\)

Suy ra \(\Delta BEM=\Delta CFM\)( cạnh huyền - góc nhọn )

b ) Theo câu a ) ta có : \(\Delta BEM=\Delta CFM\)

\(\Rightarrow BE=CF\)( 2 cạnh tương ứng )
+ Vì \(\Delta ABC\)cân tại A ( gt)

\(\Rightarrow AB=AC\)(tính chất tam giác cân )
Ta có : \(\hept{\begin{cases}AE+BE=AB\\AF+CF=AC\end{cases}}\)

Mà \(\hept{\begin{cases}BE=CF\left(cmt\right)\\AB=AC\left(cmt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow AE=AF\)

\(\Rightarrow A\)thuộc đường trung trực của EF (1)

Xét 2 \(\Delta\)vuông AEM và AFM có :

\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=90^0\left(gt\right)\)

\(AE=AF\left(cmt\right)\)

AM : cạnh chung 

Suy ra \(\Delta AEM=\Delta AFM\)( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

\(\Rightarrow EM=FM\)( 2 cạnh tương ứng )
\(\Rightarrow M\)thuộc đường trung trực cua EF (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AM\)là đường trung trực của EF

c ) Vì AB = AC (cmt)

\(\Rightarrow A\)thuộc đường trung trực của BC (3)
Xét 2 \(\Delta\)vuông \(ABD\)và \(ACD\)có :

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90^0\left(gt\right)\)

\(AB=AC\left(cmt\right)\)

AD : cạnh chung 

Suy ra \(\Delta ABD=\Delta ACD\)( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

\(\Rightarrow BD=CD\)( 2 cạnh tương ứng )

\(\Rightarrow D\)thuộc đường trung trực của BC (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow AD\)là đường trung trực của BC

Hay AD là đường trưng trực của EF

\(\Rightarrow AD\perp EF\)( định nghĩa đường trung trực )
+ Vì AM là đường trung trực của EF ( cmt)

\(\Rightarrow AM\perp EF\)( định nghĩa đường trung trực )
Mà \(AD\perp EF\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow AM\)trùng với AD

\(\Rightarrow A,M,D\)thẳng hàng ( đpcm )

Chúc bạn học tốt !!!

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBHD vuông tại H có

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔBHD

b: ta có: ΔBAD=ΔBHD

=>BA=BH và DA=DH

Ta có: BA=BH

=>B nằm trên đường trung trực của AH(1)

Ta có: DA=DH

=>D nằm trên đường trung trực của AH(2)

Từ (1),(2) suy ra BD là đường trung trực của AH

Ta có: DA=DH

DH<DC

Do đó: DA<DC

c: Xét ΔDAK vuông tại A và ΔDHC vuông tại H có

DA=DH

AK=HC

Do đó: ΔDAK=ΔDHC

=>\(\widehat{ADK}=\widehat{HDC}\)

mà \(\widehat{HDC}+\widehat{ADH}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{ADK}+\widehat{ADH}=180^0\)

=>K,D,H thẳng hàng

Ta có: BA+AK=BK

BH+HC=BC

mà BA=BH và AK=HC

nên BK=BC

=>B nằm trên đường trung trực của KC(3)

Ta có: ΔDAK=ΔDHC

=>DK=DC

=>D nằm trên đường trung trực của CK(4)

Từ (3),(4) suy ra BD là đường trung trực của CK

=>BD\(\perp\)CK