1/

Tổng A là tổng các số hạng cách đều nhau 4 đơn vị.

Số số hạng: $(101-1):4+1=26$

$A=(101+1)\times 26:2=1326$

2/

$B=(1+2+2^2)+(2^3+2^4+2^5)+(2^6+2^7+2^8)+(2^9+2^{10}+2^{11})$

$=(1+2+2^2)+2^3(1+2+2^2)+2^6(1+2+2^2)+2^9(1+2+2^2)$

$=(1+2+2^2)(1+2^3+2^6+2^9)$

$=7(1+2^3+2^6+2^9)\vdots 7$

3/
$C=1+2+2^2+2^3+...+2^{99}$

$2C=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{100}$

$\Rightarrow 2C-C=2^{100}-1$

$\Rightarrow C=2^{100}-1$

\(D=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{10^2}\)

\(D< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{9.10}=1-\dfrac{1}{10}< 1\left(đpcm\right)\)

Ta có:\(\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+...+\frac{1}{10.10}>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{10.11}\left(1\right)\)

Đặt \(A=\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{10.11}\)

\(A=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}\)

\(A=\frac{1}{2}-\frac{1}{11}=\frac{9}{22}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và\(\left(2\right)\)suy ra

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{10^2}>\frac{9}{22}\)

^^

a) P = 1 + 3 + 3² + ... + 3¹⁰¹

= (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + ... + (3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹)

= 13 + 3³.(1 + 3 + 3²) + ... + 3⁹⁹.(1 + 3 + 3²)

= 13 + 3³.13 + ... + 3⁹⁹.13

= 13.(1 + 3³ + ... + 3⁹⁹) ⋮ 13

Vậy P ⋮ 13

b) B = 1 + 2² + 2⁴ + ... + 2²⁰²⁰

= (1 + 2² + 2⁴) + (2⁶ + 2⁸ + 2¹⁰) + ... + (2²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ + 2²⁰²⁰)

= 21 + 2⁶.(1 + 2² + 2⁴) + ... + 2²⁰¹⁶.(1 + 2² + 2⁴)

= 21 + 2⁶.21 + ... + 2²⁰¹⁶.21

= 21.(1 + 2⁶ + ... + 2²⁰¹⁶) ⋮ 21

Vậy B ⋮ 21

c) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + ... + (2¹⁷ + 2¹⁸ + 2¹⁹ + 2²⁰)

= 30 + 2⁴.(2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + 2¹⁶.(2 + 2² + 2³ + 2⁴)

= 30 + 2⁴.30 + ... + 2¹⁶.30

= 30.(1 + 2⁴ + ... + 2¹⁶)

= 5.6.(1 + 2⁴ + ... + 2¹⁶) ⋮ 5

Vậy A ⋮ 5

d) A = 1 + 4 + 4² + ... + 4⁹⁸

= (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + ... + (4⁹⁷ + 4⁹⁸ + 4⁹⁹)

= 21 + 4³.(1 + 4 + 4²) + ... + 4⁹⁷.(1 + 4 + 4²)

= 21 + 4³.21 + ... + 4⁹⁷.21

= 21.(1 + 4³ + ... + 4⁹⁷) ⋮ 21

Vậy A ⋮ 21

e) A = 11⁹ + 11⁸ + 11⁷ + ... + 11 + 1

= (11⁹ + 11⁸ + 11⁷ + 11⁶ + 11⁵) + (11⁴ + 11³ + 11² + 11 + 1)

= 11⁵.(11⁴ + 11³ + 11² + 11 + 1) + 16105

= 11⁵.16105 + 16105

= 16105.(11⁵ + 1)

= 5.3221.(11⁵ + 1) ⋮ 5

Vậy A ⋮ 5

Ta có A = 2A – A = 2( 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 50 ) – ( 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 50 )

=  2 + 4 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 51  – ( 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 50 )

= 6 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 51  – ( 7 + 2 3 + . . . + 2 50 ) =  2 51 - 1

Suy ra : A + 1 =  2 51

Vậy A+1 là một lũy thừa của 2

 => 2A =2 + 22 + 23 + ... + 2²⁰²⁰

 => 2A-A =( 2 + 22 + 23 + ... + 2²⁰²⁰)- (1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22019)

=> A =2²⁰²⁰-1

=> A+1 =2²⁰²⁰

Vậy A + 1 là một số chính phương

Sửa đề: A + 2 = 2^x-1

\(A=2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{10}\\2A=2^2+2^3+2^4+2^5+\dots+2^{11}\\2A-A=(2^2+2^3+2^4+2^5+\dots+2^{11})-(2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{10})\\A=2^{11}-2\\\Rightarrow A+2=2^{11}\)

Mà: \(A+2=2^{x-1}\)

\(\Rightarrow2^{x-1}=2^{11}\)

\(\Rightarrow x-1=11\)

\(\Rightarrow x=11+1=12\)

Ta có: \(A=\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+...+\frac{1}{40}>\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}\)(có 20 số hạng \(\frac{1}{40}\))\(=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow A>\frac{1}{2}\left(1\right)\)

Ta lại có:\(\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+...+\frac{1}{40}

Nguyễn Văn Thi ĐPCM là gì???

Lời giải:

$A=(1+2)+(2^2+2^3)+....+(2^{2020}+2^{2021})$

$=3+2^2(1+2)+....+2^{2020}(1+2)$

$=3+3.2^2+....+3.2^{2020}$

$=3(1+2^2+....+2^{2020})\vdots 3$
Ta có đpcm.