gọi a,b,c là độ dài ba cạnh môt tam giác . Cho biết : ( a+ b) . ( b +c) . ( c+ a) = 8abc . Chứng minh ; Tam giác đã cho là tam giác đều
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc. Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương a, b, c
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) ; \(b+c\ge2\sqrt{bc}\); \(c+a\ge\sqrt{ca}\)
Nhân các vế của BĐT \(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c => tam giác đó đều
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc. Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều
Do a,b,c là 3 cạnh là 3 cạnh tam giác =>a,b,c>0
Áp dụng BĐT co si cho 2 số dương ta có:
a+b\(\ge2\sqrt{ab}\)
b+c\(\ge2\sqrt{bc}\)
a+c\(\ge2\sqrt{ac}\)
=>(a+b)(b+c)(c+a)>\(2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)
Dấu bằng xảy ra <=>a=b b=c c=a=>a=b=c
Mà theo đề bài (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
=>a=b=c=>tam giác đó là tam giác đều
co cach khac khong , minh chua hoc bat dang thuc cosi
Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Cho biết (a+b)(b+c)(c+a)=8abc. CM: tam giác đã cho là tam giác đều
a;b;c là 3 cạnh của tam giác => a; b; c dương
Với a; b dương ta có: \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) => a + b \(\ge\) 2. \(\sqrt{ab}\)
Tương tự, b + c \(\ge\) 2.\(\sqrt{bc}\); c + a \(\ge\)2. \(\sqrt{ca}\)
=> (a + b).(b+c).(c+a) \(\ge\)8. \(\sqrt{ab}\).\(\sqrt{bc}\).\(\sqrt{ca}\) = 8.abc
Dấu = xảy ra khi a = b = c
=> tam giác có 3 cạnh là a; b; c là tam giác đều
Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Cho biết (a+b)(b+c)(c+a)=8abc. CM: tam giác đã cho là tam giác đều bât
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác và (a+b)(b+c)(c+a)=8abc. chứng minh rằng am giác đã cho là tam giác đều
\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Tương tự: \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) ; \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Nhân vế với vế:
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác đã cho là tam giác đều
Cho a ; b; c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác . P là nửa chu vi của tam giác đó . CMR :
( p - a )( p - b )( p - c ) <= 1/8abc
\(\Leftrightarrow2\left(p-a\right).2\left(p-b\right).2\left(p-c\right)\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(2p-2a\right)\left(2p-2b\right)\left(2p-2c\right)\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le abc\)
Đặt \(a+b-c=x;\text{ }b+c-a=y;\text{ }c+a-b=z\)
Thì \(a=\frac{x+z}{2};\text{ }b=\frac{y+x}{2};\text{ }c=\frac{z+y}{2}\)
Nên cần chứng minh:
\(xyz\le\frac{1}{8}\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Điều này là hiển nhiên khi ta áp dụng bđt Côsi cho VP.
Vậy ta có đpcm.
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Cho biết (a+b)(b+c)(c+a)=8abc. Chứng minh tam giác đã cho là tam giác đều.
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác => a,b,c là các số dương
Áp dụng BĐT AG-MG , ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ac}\)
Nhân theo từng vế ta được :
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{ab.bc.ca}=8abc\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c .
Mà : \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\) ( đề bài )
Vậy tam giác trên là tam giác đều .
Gọi a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1Δ thỏa mãn:
(a+b).(b+c).(c+a)=8abc
Hỏi Δ có độ dài 3 cạnh nói trên là tam giác gì? Vì sao?
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Do đó: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\forall a,c,b\)
Dấu '=' xảy ra khi a=b=c
Vậy: Đây là tam giác đều
Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh cùa tam giác. Biết (a + b)(a + c)( b + c) = 8abc. Chứng minh tam giác đó đều
a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác đều
nên a, b, c > 0
Ta có: a + b \(\ge\) 2\(\sqrt{ab}\),
b + c \(\ge\) 2\(\sqrt{bc}\),
c + a \(\ge\) 2\(\sqrt{ca}\)
Do đó: (a+b).(b+c).(c+a) \(\ge\) \(2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}\)
=> (a+b).(b+c).(c+a) \(\ge\) 8abc
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.