Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm H cố định trên đoạn OA, đường vuông góc với OA tại H cắt nửa đường tròn tại C. Gọi N là trung điểm của BC. M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC (M ≠ B; M ≠ C). Tia BM cắt HC tại K; AM cắt HC tại E. Chứng minh rằng tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK di chuyển trên một đường thẳng cố định khi M di chuyển trên cung nhỏ BC.
AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK tại D
Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\Rightarrow\angle EMB+\angle EHB=90+90=180\)
\(\Rightarrow EMBH\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle KBD=\angle MBH=\angle AEH\)
Vì KEAD nội tiếp \(\Rightarrow\angle AEH=\angle KDB\Rightarrow\angle KBD=\angle KDB\)
\(\Rightarrow\Delta KDB\) cân tại K có KH là đường cao
\(\Rightarrow H\) là trung điểm BD mà B,H cố định \(\Rightarrow D\) cố định
Vì KEAD nội tiếp \(\Rightarrow I\in\) trung trực AD mà A,D cố định
\(\Rightarrow\) đpcm
. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định . gọi H là điểm bất kì thuộc đoạn OA ( H khác O và A) .Vẽ dây CD vuông góc với AB tại H . Gọi M là điểm bất kì thuộc đoạn CH.Nối AM cắt (O) tại điểm thứ hai là E , tia BE cắt tia DC tại F 1)cm bốn điểm H,M,E,B cùng thuộc một đường tròn 2) Kẻ Ex là tia đối của tia ED .cm góc FEx= góc FEC và MC.FD=FC.MD 3) Tìm vị trí của điểm H trên đoạn OA để S tam giác OCH lớn nhất
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại H (HB < R). Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC, toa AM cắt đường thăng CD tại N; MB cắt CD tại E
a, Chứng minh các tứ giác AMEH và MNBH nội tiếp
b, Chứng minh NM.NA = NC.ND = NE.NH
c, Nối BN cắt (O) tại K (K ≠ B). Đường thẳng KH cắt (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh ba điểm A, E, K thẳng hàng và ∆AMF cân.
d, Chứng minh rằng khi M di dộng trên cung nhỏ AC thì I luôn thuộc một đường tròn cố định
a, HS tự chứng minh
b, Chứng minh ∆NMC:∆NDA và ∆NME:∆NHA
c, Chứng minh ∆ANB có E là trực tâm => AE ⊥ BN mà có AK ⊥ BN nên có ĐPCM
Chứng minh tứ giác EKBH nội tiếp, từ đó có A K F ^ = A B M ^
d, Lấy P và G lần lượt là trung điểm của AC và OP
Chứng minh I thuộc đường tròn (G, GA)
Cho đường tròn (O;R) và một đường thẳng d cắt (O) tại C,D. Một điểm M bất kì trên d sao cho MC>MD và nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ MA vuông góc với OA tại A; kẻ MB vuông góc với OB tại B. Gọi H là trung điểm CD; AB cắt MO, OH tại E,F. Chứng minh
a, OE.OM=R2
b, M,E,H,F cùng thuộc một đường tròn
c, Điểm F cố định khi M di chuyển
Cho hình vuông ABCD co AC cắt BD tại O. M là điểm bất kì thuộc cạch BC ( M khác B,C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE=CM.
a) CM: tam giác OEM vuông cân
b) CM : ME // BN.
từ C kẻ CH vuông góc với BN ( H thuộc BN). CMR : O,M,H thẳng hàng
a) Xét tam giác OEB và tam giác OMC có:
góc OBE = góc OCM (t/c đường chéo hv)
OC = OB ( nt)
EB = MC (gt)
Vậy tam giác OEB = tam giác OMC (c-g-c)
=> EO = MO (1) và góc EOB = góc MOC
mà góc BOC = góc BOM + góc MOC = 90 độ
=> góc EOM = góc EOB + góc BOM = 90 độ (2)
Từ (1),(2) => tam giác OEM vuông cân
b) Ta có: AB//CN (N thuộc DC)
ÁP dụng định lí Ta - let tá được:
AM/MN= BM/MC mà BM=AE và MC=BE (gt)
=> AM/MN = AE/BE
=> EM//BN (đ/l Ta - let đảo)
Phần còn lại mình còn đang suy nghĩ.
Cho đg tròn (O) bk R và dây AB cố định ( AB< 2R) .Gọi C là điểm chính giữa cung lớn AB, M là dây AB, N là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (N khác B,C). Qua A kẻ đg thảng vuông góc với NC tại H cát tia BN tại D
a.A,M,H,C cung thuộc 1 đường tròn
b. Tam giác AND cân
c. Tìm vị trí điểm N để chu vi tam giác AND lớn nhất.
Cho đường tròn tâm O , Đường kính AB cố định . Điểm H thuộc đoạn thẳng OA (H khác O,A và H không là trung điểm của OA ) .Kẻ MN vuông góc với AB tại H . Gọi K là điểm bất kì thuộc cung lớn MN (K khác M,N và B ). Các đoạn thẳng AK và MN cắt nhau tại E
1, Cm 4 điểm H, E,K,B nội tiếp được trong 1 đường tròn
2, Cm tam giác AME đồng dạng với tam giác AKM
bài này mình tưởng có câu 3 nx mà . Nếu có câu 1, 2 thôi thì dễ
a) AB là đường kính của (O) , \(k\in\left(O\right)\)
=>\(\widehat{AKB}=90^0\)
\(\widehat{AKB}=\widehat{EHB}\left(=90^0\right)\)
=> tứ giác HEKB nội tiếp đường tròn
=> H , E ,K ,B nội tiếp đường tròn
2) AB là đường kính
\(MN\perp AB\equiv H\)
=> H là trung điểm của MN
\(\widebat{AM}=\widebat{NA}\)
=>\(\widehat{AMN}=\widehat{MKA}\)
xét tam giác AME zà tam giác AKM có
\(\widehat{AMN}=\widehat{MKA}\)
\(\widehat{MAE}chung\)
=>\(\Delta AME~\Delta AKM\left(g.g\right)\)
cho đường (o;r) có dây CD cố định và H là trung điểm của CD. Gọi s là một điểm bất kì trên tia đối của tia DC. Qua Sker 2 tiếp tuyến SA,SB tới đường tròn tâm O(A,B là tiếp điểm ).Đường thẳng AB cắt SO tại E.
a)4 diểm O,H,A,S cùng thuộc 1 đường tròn
Cho đường tròn tâm O với dây AB cố định (AB không qua O) đường kính CD vuông góc với AB tại K( C thuộc cung lớn AB). Điểm N thuộc cung nhỏ AC. Nối CN cắt AB tại M, nối ND cắt AB tại E. Gọi H là trung điểm NC, kẻ HI vuông góc AN tại I.
1. Chứng minh CNEK là tứ giác nội tiếp
2. Chứng minh MN.MC=MA.MB
3. Cho N di chuyển trên cung nhỏ AC, CM IH đi qua 1 điểm cố định và I thuojc một đường tròn cố định
1: góc CND=1/2*180=90 độ
Vì góc CNE+góc CKE=180 độ
nên CNEK nội tiếp
2: Xét ΔMNE và ΔMBC có
góc MNE=góc MBC
góc M chung
=>ΔMNE đồng dạng với ΔMBC
=>MN/MB=ME/MC
=>MN*MC=MB*ME
