a) Xét ∆ABC có : 

M là trung điểm AB 

N là trung điểm BC 

=> MN là đường trung bình 

=> MN//AC , MN = \(\frac{1}{2}AC\) 

Xét ∆ABC có : 

N là trung điểm BC 

P là trung điểm AC 

=> NP là đường trung bình 

=> NP//AB , NP = \(\frac{1}{2}AB\)

Xét tứ giác MNPA có : 

MN//AP ( MN//AC , P \(\in\)AC )

NP //AM ( NP//AB , M \(\in\)AB )

=> MNPA là hình bình hành 

Mà BAC = 90° 

=> MNPA là hình chữ nhật 

Vì ∆ABC vuông cân tại A

=> AB = AC , ABC = ACB 

Mà BM = \(\frac{1}{2}AB\) ( M là trung điểm AB )

PC = \(\frac{1}{2}AC\)( P là trung điểm AC )

=> BM = PC 

Xét ∆BMN và ∆NCP có :

BN = NC ( N là trung điểm BC )

ABC = ACB (cmt)

BM = PC (cmt)

=> ∆BMN = ∆NCP (c.g.c)

=> MN = NP 

Mà MNPA là hình chữ nhật 

=> MNPA là hình vuông 

Vì ∆ABC vuông cân tại A 

AN là trung tuyến BC 

=> AN = BN = NC , AN là trung trực BC

=> ∆ANC cân tại N 

Mà AN \(\perp\)BC ( AN là trung trực BC )

=> ∆ANC vuông cân tại A 

=> NP là phân giác ANC 

Xét tứ giác ANCK có : 

P là trung điểm AC (gt)

P là trung điểm NK ( NP = PK )

=> ANCK là hình bình hành 

.Mà ANC = 90° ( AN \(\perp\)BC )

=> ANCK là hình chữ nhật 

Mà NK là phân giác ANC (cmt)

=> ANCK là hình vuông 

c) Vì NP là trung tuyến AC 

=> NP = AP = PC 

Vì MN//AC 

=> HMA = BAC = 90° ( so le trong )

Xét ∆AHN có : 

AM là trung trực 

=> ∆AHN cân tại A 

Mà NCKA là hình vuông 

=> NAK = 90° 

Nà NAK + NAH = 180° ( kề bù )

=> NAH = 90° 

=> ∆AHN vuông cân tại A 

Mà AM là trung tuyến 

=> AM = HM = MN 

Mà MNPA là hình vuông 

=> MA = AP = PN = MN 

=> HM = MB = AP = PC 

Ta có : 

HM + MN = HN 

AP + PC = AC 

=> HN = AC

Xét tứ giá HNPA có : 

HN //AC ( MN //AC , M \(\in\)HN )

HN = AC 

=> HNPA là hình bình hành 

a: PN=10cm

b: Xét ΔPMK vuông tại M và ΔPEK vuông tại E có

PK chung

\(\widehat{MPK}=\widehat{EPK}\)

Do đó: ΔPMK=ΔPEK

c: Xét ΔMKD vuông tại M và ΔEKN vuông tại E có

KM=KE

\(\widehat{MKD}=\widehat{EKN}\)

DO đó: ΔMKD=ΔEKN

Suy ra: KD=KN

d: Ta có: PM+MD=PD

PE+EN=PN

mà PM=PE

và MD=EN

nên PD=PN

hayΔPDN cân tại P

Bài làm

a) Xét tam giác BAC có:

P là trung điểm AB

N là trung điểm BC

=> PN là đường trung bình.

=> PN // AC và PN = 1/2 AC

Mà AM = 1/2 AC => PN = AM

Xét tứ giác AMNP có:

PN // AC

=> Tứ giác AMNP là hình thang.

Mà PN = AM 

=> Hình thang AMNP là hình bình hành.

Ta có: ^A = 90°

=> AMNP là hình chữ nhật.

b) Ta có: AB = 1/2 AC

Mà AM = 1/2AC

=> AB = AM

Mà PN = AM ( cmt )

=> AB = NP .

c) Xét tam giác CBQ vuông ở B có:

^C + ^BQC = 90°         (1)

Xét tam giác BAQ vuông ở A có:

^QBA + ^BQC = 90°      (2)

Từ (1) và (2) => ^C = ^QBA 

Lại có: AB = AM ( cmt )

Mà AM = MC

=> AB = MC

Xét tam giác ABQ và tam giác MCN có:

^BAQ = ^CMN ( = 90° )

AB = MC ( cmt )

^C = ^QBA ( cmt )

=> Tam giác ABQ = tam giác MCN ( g.c.g )

=> NC = QB

Mà BN = NC ( Do N là trung điểm BC )

=> QB = BN 

=> Tam giác BQN cân tại B

a: ta có: ΔMNP cân tại M

mà MH là đường cao

nên H là trung điểm của NP

hay HN=HP

b: NH=NP/2=8/2=4(cm)

=>MH=3(cm)

c: Xét ΔMDH vuông tại D và ΔMEH vuông tại E có

MH chung

\(\widehat{DMH}=\widehat{EMH}\)

Do đó: ΔMDH=ΔMEH

Suy ra: HD=HE

hay ΔHED cân tại H