Xét tam giác BKI vuông tại I có:

\(BK^2=KI^2+BI^2\left(Pytago\right)\Rightarrow BI^2=BK^2-KI^2\left(1\right)\)

Xét tam giác AIK vuông tại I có:

\(AK^2=AI^2+IK^2\left(Pytago\right)\Rightarrow AI^2=AK^2-IK^2\left(2\right)\)

Xét tam giác ACK vuông tại C có:

\(AK^2=AC^2+CK^2\left(Pytago\right)\Rightarrow AC^2=AK^2-CK^2\left(3\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow AI^2-BI^2=\left(AK^2-IK^2\right)-\left(BK^2-IK^2\right)=AK^2-BK^2\)

Mà \(BK=CK\Rightarrow BK^2=CK^2\) (do K là trung điểm BC)

\(\Rightarrow AI^2-BI^2=AK^2-CK^2=AC^2\)(do (3))

a: Xét tứ giác AMDN có

góc AMD=góc AND=góc MAN=90 độ

=>AMDN là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MN//AB

=>N là trung điểm của AC

c: Xét tứ giác ADCE có

N là trung điểm chung của AC và DE

Do đó: ADCE là hình bình hành

mà DA=DC

nên ADCE là hình thoi

a)  Xét \(\Delta\)AKBvà \(\Delta\)AKC có

           AK là cạnh chung

          AB      =  AC    ( gt )

          \(\widehat{BAK}\)  = \(\widehat{KAC}\)  ( vì K là trung điểm của BC )

\(\Rightarrow\)       \(\Delta\)AKB = \(\Delta\)AKC

b) \(\rightarrow\) KB = KC ( 2 cạnh tương ứng )

mà \(\widehat{AKB}+\widehat{AKC}=180^O\) ( 2 góc kề bù )

\(\Rightarrow\) KB = KC = 180 : 2 = 90^o 

^{\(\Rightarrow\)} AK \(\perp\) BC

c) bn ghi lỗi

d) k lm đc vì tùy thuộc câu c nha bn 

a,xét tgiac abk vuông tại k và tgiac ach vuông tại h có :  góc bac chung,ab=ac(do tgiac abc cân tại a)                                                              =>tgiac abk=tgiac ach ( ch-gn)                             =>ak=ah( cặp cạnh tương ứng)                     xét tgiac ahk có ak=ah(cmt)=>tgiac ahk cân tại a                                                                 b,ta có ah và bk là đường cao , cắt nhau tại i => i là trực tâm => AI cũng là đường cao     mà trong tgiac cân, đường cao đồng thời là đường phân giác=> AI cũng là phân giác góc bac(đpcm)                                               c,AI là đường cao tgiac abc => cũng là đường cao tgiac ahk                                    => AI vuông góc hk,bc                                   => hk song song bc ( từ vuông góc->song song)

vài chỗ tui trình bày k ok lắm nên bạn nên trình bày lại theo cách của bạn nhé .-.

a, xét tam giác AKB và tam giác AHC có : góc A chung

AB = AC do tam giác ABC cân tại A (gt)

góc AKB = góc AHC = 90 

=> tam giác AKB = tam giác AHC (ch-gn)

=> AH = AK (Đn)

=> tam giác AHK cân tại A (Đn)

b, xét tam giác AHI và tam giác AKI có : AI chung

AH = AK (câu a)

góc AHI = góc AKI = 90

=> tam giác AHI = tam giác AKI (ch-cgv)

=> góc HAI = góc KAI (đn) mà AI nằm giữa AH và AK 

=> AI là pg của góc HAK (đn)

c, tam giác AHK cân tại A (câu a) => góc AHK = (180 - góc A) : 2

tam giác ABC cân tại A (gt) => góc ABC = (180 - góc A) : 2

=> góc AHK = góc ABC mà 2 góc này đồng vị

=> HK // BC (đl)