Lời giải:

Để $(d)$ đi qua $A(-1;-2)$ thì: $-2=-m+n(1)$

Để $(d)$ và $(P)$ tiếp xúc nhau thì PT hoành độ giao điểm:

$\frac{1}{4}x^2-mx-n=0$ có nghiệm duy nhất

Điều này xảy ra khi:

$\Delta=m^2+n=0(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow m=1$ hoặc $m=-2$

Nếu $m=1$ thì $n=-1$

Nếu $m=-2$ thì $n=-4$

Vậy............

b) (d) đi qua điểm A (2; 5) và B ( -2; 3) khi:

Để d đi qua A

\(\Leftrightarrow m.1+n=0\Rightarrow n=-m\Rightarrow y=mx-m\)

Phương trình hoành độ giao điểm (P) và d:

\(\frac{1}{2}x^2=mx-m\Leftrightarrow x^2-2mx+2m=0\) (1)

Để d tiếp xúc (P) \(\Leftrightarrow\) (1) có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-2m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\Rightarrow n=0\\m=2\Rightarrow n=-2\end{matrix}\right.\)

- Với \(m=n=0\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0\Rightarrow y=0\)

Tọa độ tiếp điểm là \(\left(0;0\right)\)

- Với \(\left[{}\begin{matrix}m=2\\n=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2-4x+4=0\Rightarrow x=2\Rightarrow y=2\)

Tọa độ tiếp điểm là \(\left(2;2\right)\)

a: Theo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\2a+b=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.\)

b: 

1: Thay x=-1 và y=3 vào (d), ta được:

\(2\cdot\left(-1\right)-a+1=3\)

=>-a-1=3

=>-a=4

hay a=-4

Đường thẳng y = mx + n đi qua điểm A ( -1 ; -2 ) nên 

-2 = -m + n ,suy ra n = m-2 

Phương trình đường thẳng có dạng y = mx + ( m -2 ) .Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với parabol là phương trình \(\frac{x^2}{4}=mx+\left(m-2\right)\)        (1) 

có nghiệm kép .Biến đổi (1) ta được : x² -4.m.x - 4. ( m-2) =0          (2) 

Điều kiện để ( 1 ) cũng có nghĩa là ( 2 ) có nghiệm kép là : 

\(\Delta'=4m^2+4m-8=0\Leftrightarrow m^2+m-2=0\)

<=> ( m+2 ) . ( m-1 ) = 0 <=> m =-2 hoặc m = 1 .

Vậy các hệ số m , ncaanf tìm là m = -2 ; n = -4 và m =1 ; n=-1 

a) Thay x=1 và y=2 vào (P), ta được:

\(a\cdot1^2=2\)

hay a=2