CM: A ⋮ 5

A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4⁶⁰

A = (1 + 4) + (4² + 4³) + ... + (4⁵⁹ + 4⁶⁰)

A = 5 + 4² . (1 + 4) + ... + 4⁵⁹ . (1 + 4)

A = 5 + 4² . 5 + ... + 4⁵⁹ . 5

A = 5 . (1 + 4² + ... + 4⁵⁹)  ⋮ 5

Vậy A ⋮ 5

CM: A ⋮ 21

A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4⁶⁰

A = (1 + 4 + 4²⁾ + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + ... + (4⁵⁸ + 4⁵⁹ + 4⁶⁰)

A = 21 + 4³ . (1 + 4 + 4²) + ... + 4⁵⁸ . (1 + 4 + 4²)

A = 21 + 4³ . 21 + ... + 4⁵⁸ . 21

A = 21 . (1 + 4³ + ... + 4⁵⁸)  ⋮ 21

Vậy A ⋮ 21

viết dấu + cho nhanh, bạn!

A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4²⁰²¹

A = 4⁰ + 4¹ + 4² + 4³ +...+ 4²⁰²¹

Xét dãy số 0; 1; 2; 3;...; 2021

Dãy số trên có số số hạng là:

(2021 - 0) : 1 + 1 = 2022

Vậy A có 2022 số hạng

vì 2022 : 3 = 674

Vậy ta nhóm 3 số hạng liên tiếp của A thành một nhóm thì khi đó

A = (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) +...+ (4²⁰¹⁹ + 4²⁰²⁰ + 4²⁰²¹)

A = (1 + 4 + 16) + 4³.(1 + 4 + 4²) + ... +4²⁰¹⁹.(1 + 4 + 4²)

A = 21 + 4³.21 +... + 4²⁰¹⁹.21

A = 21.(1 + 4³ + ... + 4²⁰¹⁹) 

21 ⋮ 21 ⇒ 21.(1 + 4³ + ...+ 4²⁰¹⁹) ⋮ 21 ⇒ A ⋮ 21 (đpcm)

Giải thích các bước giải:

A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 42021

A = 40 + 41 + 42 + 43 +...+ 42021

Xét dãy số 0; 1; 2; 3;...; 2021

Dãy số trên có số số hạng là:

(2021 - 0) : 1 + 1 = 2022

Vậy A có 2022 số hạng

vì 2022 : 3 = 674

Vậy ta nhóm 3 số hạng liên tiếp của A thành một nhóm thì khi đó ta sẽ có

A = (1 + 4 + 42) + (43 + 44 + 45) +...+ (42019 + 42020 + 42021)

A = (1 + 4 + 16) + 43.(1 + 4 + 42) + ... +42019.(1 + 4 + 42)

A = 21 + 43.21 +... + 42019.21

A = 21.(1 + 43 + ... + 42019) 

21 ⋮ 21 ⇒ 21.(1 + 43 + ...+ 42019) ⋮ 21 ⇒ A ⋮ 21 (đpcm)

Vậy ta có thể biết A có thể chia hết cho 21 qua: 1+4+42+43+...+42021

ta có 

\(1+3+3^2+..+3^{2000}=\left(1+3+3^2\right)+\left(3^3+3^4+3^5\right)+..+\left(3^{1998}+3^{1999}+3^{2000}\right)\)

\(=13.1+13\cdot3^3+..+13\cdot3^{1998}\) chia hết cho 13

tương tự

\(1+4+4^2+..+4^{2012}=\left(1+4+4^2\right)+..+\left(4^{2010}+4^{2011}+4^{2012}\right)\)

\(=21.1+21\cdot4^3+..+21.4^{2010}\) chia hết cho 21

Bài 1:

\(2^{49}=\left(2^7\right)^7=128^7;5^{21}=\left(5^3\right)^7=125^7\\ Vì:128^7>125^7\Rightarrow2^{49}>5^{21}\)

Bài 2:

\(a,S=1+3+3^2+3^3+...+3^{99}\\ =\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^4.\left(1+3+3^2+3^3\right)+...+3^{96}.\left(1+3+3^2+3^3\right)\\ =40+3^4.40+...+3^{96}.40\\ =40.\left(1+3^4+...+3^{96}\right)⋮40\\ b,S=1+4+4^2+4^3+...+4^{62}\\ =\left(1+4+4^2\right)+4^3.\left(1+4+4^2\right)+...+4^{60}.\left(1+4+4^2\right)\\ =21+4^3.21+...+4^{60}.21\\ =21.\left(1+4^3+...+4^{60}\right)⋮21\)

Bài 1 :

\(2^{49}=\left(2^7\right)^7=128^7\)

\(5^{21}=\left(5^3\right)^7=125^7\)

mà \(125^7< 128^7\)

\(\Rightarrow2^{49}>5^{21}\)

Bài 2 :

a) \(S=1+3+3^2+3^3+...3^{99}\)

\(\Rightarrow S=\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^4\left(1+3+3^2+3^3\right)...+3^{96}\left(1+3+3^2+3^3\right)\)

\(\Rightarrow S=40+40.3^4+...+40.3^{96}\)

\(\Rightarrow S=40\left(1+3^4+...+3^{96}\right)⋮40\)

\(\Rightarrow dpcm\)

b) \(S=1+4+4^2+4^3+...4^{62}\)

\(\Rightarrow S=\left(1+4+4^2\right)+4^3\left(1+4+4^2\right)+...4^{60}\left(1+4+4^2\right)\)

\(\Rightarrow S=21+4^3.21+...4^{60}.21\)

\(\Rightarrow S=21\left(1+4^3+...4^{60}\right)⋮21\)

\(\Rightarrow dpcm\)

Đặt \(A=4+4^2+4^3+...+4^{89}+4^{90}\)

Ta có: \(A=\left(4+4^2+4^3\right)+...+\left(4^{88}+4^{89}+4^{90}\right)\)

\(A=84+...+4^{87}.\left(4+4^2+4^3\right)\)

\(A=84+...+4^{87}.84\)

\(A=84.\left(1+...+4^{87}\right)\)

Vì \(84⋮21\) nên \(84.\left(1+...+4^{87}\right)⋮21\)

Vậy \(A⋮21\)

\(#\)  Hallowen vui vẻ 🎃

D = 1 + 4 + 4 2 + 4 3 + . . . + 4 58 + 4 59

=  1 + 4 + 4 2 +  4 3 + 4 4 + 4 5 + ... +  4 57 + 4 58 + 4 59

=  1 + 4 + 4 2 +  4 3 . 1 + 4 + 4 2 + ... +  4 57 . 1 + 4 + 4 2

=  21 + 21 . 4 3 + . . . + 21 . 4 57 ⋮ 21