\(x^2-2\left(k-1\right)x+2\left(k-2\right)=0\)
a. Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
b.Tìm k để phương trình có 2 nghiệm x1,x2. Thỏa mãn \(|x_1|+|x_2|=4\)
Bài 1: Cho phương trình \(^{x^2-2\left(k-1\right)x+2k-5=0}\)
a) Giải phương trình với k = 1
b) Tìm k để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức \(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=\sqrt{14}\)
Bài 2: Cho phương trình \(x^2-5x+m=0\)(m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 4
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|=3\)
b Tìm m để phương trình \(\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x+m+3=0\) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn \(x_1^2+x_1.x_2+x_2^2=1\)
c Tìm m để phương trình \(\left(m-1\right)x^2-2mx+m+2=0\) có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+6=0\)
d Tìm m để phương trình \(3x^2+4\left(m-1\right)x+m^2-4m+1=0\) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\) (x1+x2)
b) phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2-\left(m-1\right)\left(m+3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m+1-m^2-3m+m+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow-4m+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow m\le1\)
Ta có: \(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)
Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[-2\left(m-1\right)^2\right]-2\left(m+3\right)=1\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-6-1=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-10m-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{4}\left(ktm\right)\\m_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\)
1.Cho phương trình: \(x^2-2\left(m-1\right)+2m-5=0\) (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1;x2 với mọi m. Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức:
\(\left(x_1^2-2mx_1-x_2+2m-3\right)\left(x^2_2-2mx_2-x_1+2m-3\right)=19\)
Cho phương trình
\(x^2-\left(2m-1\right)x-2m-1=0\)
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn \(x_1^3-x_2^3+2\left(x_1^2-x_2^2\right)=0\)
Cho phương trình \(x^2-2x+m+2=0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
\(\sqrt{\left(x_1^2+mx_2-4x_1+4\right)\left(x_2^2+mx_1-4x_2+4\right)}=\left|x_2-x_1\right|\sqrt{x_1x_2}\)
Cho phương trình : \(x^2-2\left(m-1\right)x-3-m=0\) (1)
a, Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b, Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2\ge10\)
a: \(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4\left(-m-3\right)\)
\(=4m^2-8m+4+4m+12\)
\(=4m^2-4m+16\)
\(=\left(2m-1\right)^2+15>0\)
Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b: Theo đề, ta có:
\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2>=10\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)^2-2\left(-m-3\right)>=10\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4+2m+6-10>=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-6m>=0\)
=>m<=0 hoặc m>=3/2
Cho phương trình: \(x^2\) - 2 ( m -1 ) x - m -3 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn: \(\left(x_1-x_2\right)^2\) = 4\(m^2\) - 5 x1 + x2
a, Thay \(m=-3\) vào \(\left(1\right)\)
\(x^2-2.\left(m-1\right)x-m-3=0\\ \Leftrightarrow x^2-2.\left(-3-1\right)x+3-3=0\\ \Leftrightarrow x^2+8x=0\\ \Leftrightarrow x\left(x+8\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-8\end{matrix}\right.\)
Vậy với \(m=-3\) thì \(x=0;x=-8\)
b,
\(\Delta'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-1.\left(-m-3\right)\\ =m^2-2m+1+m+3\\ =m^2-m+4\)
phương trình có hai nghiệm phân biệt
\(\Delta'>0\\ m^2-m+4>0\\ \Rightarrow m^2-2.\dfrac{1}{2}m+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{2}>0\\ \Leftrightarrow\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{2}>0\left(lđ\right)\)
\(\Rightarrow\forall m\)
Áp dụng hệ thức Vi ét :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m-3\end{matrix}\right.\)
\(\left(x_1-x_2\right)^2=4m^2-5\left(x_1+x_2\right)\\ \Leftrightarrow x_1^2+2x_1.x_2+x^2_2-4x_1x_2=4m^2-5\left(x_1+x_2\right)\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4m^2-5\left(x_1+x_2\right)\\ \Leftrightarrow\left(2.\left(m-1\right)\right)^2-4.\left(-m-3\right)=4m^2-5.\left(-m-3\right)\\ \Leftrightarrow4m^2-8m+4+4m+12-4m^2-5m-15=0\\ \Leftrightarrow-9m+1=0\\ \Leftrightarrow m=\dfrac{1}{9}\)
Vậy \(m=\dfrac{1}{9}\)
a.
Thế m = -3 vào phương trình (1) ta được:
\(x^2-2\left(-3-1\right)x-\left(-3\right)-3=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2+8x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+8\right)=0\\ \Rightarrow x_1=0,x_2=-8\)
b.
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì:
\(\Delta>0\\ \Leftrightarrow\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4.1.\left(-m-3\right)>0\)
\(\Leftrightarrow4.\left(m^2-2m+1\right)+4m+12>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4+4m+12>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-4m+16>0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-4m+1+15>0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2+15>0\)
Vì \(\left(2m-1\right)^2\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi m nên phương trình (1) có nghiệm với mọi m.
Theo viét:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=-m-3\end{matrix}\right.\) (I)
có:
\(\left(x_1-x_2\right)^2=4m^2-5x_1+x_2\)
<=> \(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2-4m^2+5x_1-x_2=0\)
<=> \(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2-4m^2+5x_1-x_2=0\)
<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-4m^2+5x_1-x_2=0\)
<=> \(\left(2m-2\right)^2-4.\left(-m-3\right)-4m^2+5x_1-x_2=0\)
<=> \(4m^2-8m+4+4m+12-4m^2+5x_1-x_2=0\)
<=> \(-4m+16+5x_1-x_2=0\)
<=> \(5x_1-x_2=4m-16\) (II)
Từ (I) và (II) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}5x_1-x_2=4m-16\left(2\right)\\x_1+x_2=2m-2\left(3\right)\\x_1x_2=-m-3\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (2) ta có:
\(x_1=\dfrac{4m-16+x_2}{5}=\dfrac{4}{5}m-3,2+\dfrac{1}{5}x_2\) (x)
Thế (x) vào (3) được:
\(\dfrac{4}{5}m-3,2+\dfrac{1}{5}x_2+x_2=2m-2\)
<=> \(\dfrac{4}{5}m-3,2+\dfrac{1}{5}x_2+x_2-2m+2=0\)
<=> \(-1,2m-1,2+1,2x_2=0\)
<=> \(x_2=1,2m+1,2\) (xx)
Thế (xx) vào (3) được:
\(x_1+1,2m+1,2=2m-2\)
<=> \(x_1+1,2m+1,2-2m+2=0\)
<=> \(x_1-0,8m+3,2=0\)
<=> \(x_1=-3,2+0,8m\) (xxx)
Thế (xx) và (xxx) vào (4) được:
\(\left(-3,2+0,8m\right)\left(1,2m+1,2\right)=-m-3\)
<=> \(-3,84m-3,84+0,96m^2+0,96m+m+3=0\)
<=> \(0,96m^2-1,88m-0,84=0\)
\(\Delta=\left(-1,88\right)^2-4.0,96.\left(-0,84\right)=6,76\)
\(m_1=\dfrac{1,88+\sqrt{6,76}}{2.0,96}=\dfrac{7}{3}\left(nhận\right)\)
\(m_2=\dfrac{1,88-\sqrt{6,76}}{2.0,96}=-\dfrac{3}{8}\left(nhận\right)\)
T.Lam
cho phương trình\(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2-m=0\) tìm các giá tri của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện:\(\left(x_1^2+mx_1+x_2-m^2+m\right)\left(x_2^2+mx_2+x_1-m^2+m\right)=-9\)
Cho phương trình : \(x^2-2\left(m+1\right)x-12=0\)
Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn : \(x_1^2-x_2^2-7\cdot2\cdot\left(m+1\right)=0\)
\(ac=-12< 0\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb trái dấu
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=-12\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2-x_2^2-14\left(m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)-14\left(m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right).2\left(m+1\right)-14\left(m+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\x_1-x_2=7\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1), kết hợp với Viet ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1-x_2=7\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m+9}{2}\\x_2=\dfrac{2m-5}{2}\end{matrix}\right.\)
Thế vào \(x_1x_2=-12\Leftrightarrow\left(\dfrac{2m+9}{2}\right)\left(\dfrac{2m-5}{2}\right)=-12\)
\(\Leftrightarrow4m^2+8m+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{3}{2}\\m=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m=\left\{-1;-\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2}\right\}\)