Gọi O là trung điểm hay giao đ của BH và CK

+) Xét ΔABH và ΔACK, ta có:

AB = AC ( vì tam giác ABC cân tại A)

AH = AK (giả thiết)

Suy ra: ΔABH = ΔACK(c.g.c)

+ Do đó, tam giác OBC cân tại O.

Hình vẽ:

Giải:

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACK\) có:

\(AH=AK\left(gt\right)\)

\(\widehat{A}\) là góc chung

\(AB=AC\) ( Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) )

Do đó: \(\Delta ABH=\Delta ACK\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\) ( cặp góc tương ứng )

Mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\) ( Do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) )

\(\Rightarrow\widehat{B}-\widehat{B_2}=\widehat{C}-\widehat{C_2}\)

\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\)

\(\Rightarrow\Delta OBC\) cân tại \(O\) . \(\left(đpcm\right)\)

2: góc ABH+góc HBC=góc ABC

góc ACK+góc KCB=góc ACB

mà góc ABC=góc ACB; góc HBC=góc KCB

nên góc ABH=góc ACK

a) Tam giác ABC cân tại A (gt) \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (Tính chất tam giác cân).

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^o.\\\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^o.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}.\)

Xét tam giác ABD và tam giác ACE:

+ AB = AC (Tam giác ABC cân tại A).

+ \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left(cmt\right).\)

+ BD = CE (gt).

\(\Rightarrow\) Tam giác ABD = Tam giác ACE (c - g - c).

\(\Rightarrow\) AD = AE (Cặp cạnh tương ứng).

\(\Rightarrow\) Tam giác ADE cân tại A (đpcm).

b) Tam giác ADE cân tại A (cmt). \(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) (Tính chất tam giác cân).

Xét tam giác DHB và tam giác EKC (\(\widehat{DHB}=\widehat{EKC}=90^o\)) :

+ \(\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\) (\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\)).

+ BD = CE (gt).

\(\Rightarrow\) Tam giác DHB = Tam giác EKC (cạnh huyền - góc nhọn).

\(\Rightarrow\) BH = CK (Cặp cạnh tương ứng).

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AH+HD=AD.\\AK+KE=AE.\end{matrix}\right.\)

Mà HD = KE (Tam giác DHB = Tam giác EKC); AD = AE (cmt).

\(\Rightarrow\) AH = AK \(\Rightarrow\) Tam giác AHK cân tại A. \(\Rightarrow\) \(\widehat{AHK}=\left(180^o-\widehat{A}\right):2.\)

Mà \(\widehat{ADE}=\left(180^o-\widehat{A}\right):2\) (Tam giác ADE cân tại A).

\(\Rightarrow\) \(\widehat{AHK}=\widehat{ADE}.\)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.

\(\Rightarrow\) HK // BC (dhnb).

c) Tam giác DHB = Tam giác EKC (cmt). \(\Rightarrow\) \(\widehat{HBD}=\widehat{KCE}\) (2 góc tương ứng).

Mà \(\widehat{HBD}=\widehat{CBO}\); \(\widehat{KCE}=\widehat{BCO}\) (đối đỉnh).

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BCO}=\widehat{CBO}\). \(\Rightarrow\) Tam giác OBC là tam giác cân tại O.

d) Xét tam giác ABC cân tại A có: AM là trung tuyến (M là trung điểm BC).

\(\Rightarrow\) AM là đường cao (Tính chất các đường trong tam giác cân).

\(\Rightarrow\) \(AM\perp BC.\) (1)

Xét tam giác OBC cân tại O: OM là trung tuyến (M là trung điểm BC).

\(\Rightarrow\) OM là đường cao (Tính chất các đường trong tam giác cân).

\(\Rightarrow\) \(OM\perp BC.\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) 3 điểm O; A; M thẳng hàng.

\(\Rightarrow\) \(M\in AO.\)

Mà O là giao điểm của BH; CK (gt).

\(\Rightarrow\) O là giao điểm của AM; BH; CK.

\(\Rightarrow\) AM; BH; CK đồng quy (đpcm). 

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có

AB=AC
góc BAH chung

=>ΔAHB=ΔAKC

=>BH=CK

b: Xét ΔAKO vuông tại K và ΔAHO vuông tại H có

AO chung

AK=AH

=>ΔAKO=ΔAHO

=>góc KAO=góc HAO

=>AO là phân giác của góc KAH

Ta có : AK = AH ; AB = AC ; góc BAC chung

=> Tam giác ABH = tam giác ACK (c.g.c)

=> góc ABH = góc ACK mà góc ABC = góc ACB

=> Góc HBC = góc KCB => góc OBC = góc OCB => Tam giác OBC cân tại O