Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

$2x^2-4x-m=0(*)$

Để 2 đths cắt nhau tại 2 điểm pb thì pt $(*)$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$.

Điều này xảy ra khi $\Delta'=(-2)^2+2m>0\Leftrightarrow m> -2$

Áp dụng định lý Viet: 

$x_1+x_2=2$

$x_1x_2=\frac{-m}{2}$

Khi đó: $x_1^2+x_2^2=3$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3$

$\Leftrightarrow 2^2-2.\frac{-m}{2}=3$

$\Leftrightarrow 4+m=3$

$\Leftrightarrow m=-1$ (tm)

1.

\(4x^3-6x^2+m=0\Leftrightarrow4x^3-6x^2=-m\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=4x^3-6x^2\)

\(f'\left(x\right)=12x^2-12x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

BBT:

Từ BBT ta thấy đường thẳng \(y=-m\) cắt \(y=4x^3-6x^2\) tại 3 điểm pb khi:

\(-2< -m< 0\Leftrightarrow0< m< 2\)

2.

Pt hoành độ giao điểm:

\(\dfrac{x-3}{x+1}=x+m\)

\(\Rightarrow x-3=\left(x+m\right)\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+mx+m+3=0\) (1)

Đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta=m^2-4\left(m+3\right)>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>6\\m< -2\end{matrix}\right.\)

3.

Pt hoành độ giao điểm:

\(\dfrac{x+1}{x-1}=-2x+m\)

\(\Leftrightarrow x+1=\left(x-1\right)\left(-2x+m\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2-\left(m+1\right)x+m+1=0\) (1)

bài toán thỏa mãn khi (1) có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(m+1\right)^2-8\left(m+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m-7\right)>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>7\\m< -1\end{matrix}\right.\)

Trả lời: 

Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) ta có:

\(-x^2=2x+m-1\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+m-1=0\)(1)

Ta có: \(\Delta=2^2-4.1.\left(m-1\right)\)

              \(=4-4m+4\)

               \(=8-4m\)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta>0\)

                                                                \(\Leftrightarrow8-4m>0\)

                                                                \(\Leftrightarrow4m< 8\)

                                                                 \(\Leftrightarrow m< 2\)

\(\Rightarrow\)Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 

\(\Rightarrow\)(d) cắt (P) tại 2 diểm phân biệt \(A\left(x_1,y_1\right);B\left(x_2,y_2\right)\)

Áp dụng Vi-ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-2\left(1\right)\\x_1.x_2=m-1\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có \(y_1=-x_1^2\); \(y_2=-x_2^2\)

Theo đề bài:

\(x_1.y_1-x_2.y_2-x_1.x_2=4\)

\(\Leftrightarrow x_1.\left(-x_1^2\right)-x_2.\left(-x_2^2\right)-x_1.x_2=4\)

\(\Leftrightarrow-x_1^3+x_2^3-x_1.x_2=4\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1^3-x_2^3\right)-\left(m-1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1-x_2\right).\left(x_1^2+x_1.x_2+x_2^2\right)-\left(m-1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2+x_1.x_2\right]-\left(m-1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1-x_2\right).\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1.x_2\right]-\left(m-1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1-x_2\right).\left[\left(-2\right)^2-m+1\right]-\left(m-1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1-x_2\right).\left(4-m+1\right)=4+m-1\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1-x_2\right).\left(3-m\right)=m+3\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1-x_2\right)=\frac{m+3}{3-m}\)

\(\Leftrightarrow x_1-x_2=\frac{m+3}{m-3}\)(3)

Từ (1) (3) ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-2\\x_1-x_2=\frac{m+3}{m-3}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x_1=-2+\frac{m+3}{m-3}=\frac{9-m}{m-3}=-\left(m+3\right)\\x_1+x_2=-2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-\left(m+3\right)}{2}\\x_2=\frac{m-1}{2}\end{cases}}\)

Thay x1, x2 vào (2) ta có

\(x_1.x_2=m-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(m+3\right)}{2}.\frac{m-1}{2}=m-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(m+3\right)}{2}=2\)

\(\Leftrightarrow-\left(m+3\right)=4\)

\(\Leftrightarrow m+3=-4\)

\(\Leftrightarrow m=-7\)(TM)

Vậy \(m=-7\) thì thỏa mãn bài toán 

PTHĐGĐ là:

\(-x^2=-mx+m-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-mx+m-1=0\)

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\cdot1\left(m-1\right)\)

\(=m^2-4m+4\)

\(=\left(m-2\right)^2\ge0\forall m\)

Do đó: Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:,

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1^2+x_2^2=17\)

\(\Leftrightarrow m^2-2\left(m-1\right)-17=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-5\right)\left(m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5\\m=-3\end{matrix}\right.\)