a) Phương trình có \(\Delta'=m^2-4m+8=\left(m-2\right)^2+4>0\forall m\)nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Do đó, theo Viet với mọi m ta có: \(S=-\frac{b}{a}=2m;P=\frac{c}{a}=m-2\)

\(M=\frac{-24}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}=\frac{-24}{4m^2-8m+16}=\frac{-6}{m^2-2m+4}\)

\(=\frac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\)

Khi m=1 ta có (m-1)²+3 nhỏ nhất

=> \(-M=\frac{6}{\left(m-1\right)^2+3}\)lớn nhất khi m=1

=> \(M=\frac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\)nhỏ nhất khi m=1

a: Δ=(-2m)^2-4(m-2)

=4m^2-4m+8=(2m-1)^2+7>=7>0

=>PT luôn có hai nghiệm phân biệt

b: x1^2+x2^2-6x1x2

=(x1+x2)^2-8x1x2

=(2m)^2-8(m-2)

=4m^2-8m+16=(2m-2)^2+8>=8

=>24/(2m-2)^2+8<=3

=>M>=-3

Dấu = xảy ra khi m=1

1, Ta có: \(\Delta'=\left(-m\right)^2-\left(2m-1\right)=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0\)

Suy ra pt luôn có 2 nghiệm

2, Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m-1\end{matrix}\right.\)

\(A=\left(x_1^2+x_2^2\right)-5x_1x_2\\ =\left(x_1+x_2\right)^2-7x_1x_2\\ =\left(2m\right)^2-7\left(2m-1\right)\\ =4m^2-14m+7\)

Đề sai r bạn

\(b,4m^2-14m+7\\ =4\left(m^2-\dfrac{7}{2}m+\dfrac{7}{4}\right)\\ =4\left(m^2-2.\dfrac{7}{4}m+\dfrac{49}{16}-\dfrac{21}{16}\right)\\ =4\left(m-\dfrac{7}{4}\right)^2-\dfrac{21}{4}\ge-\dfrac{21}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{4}\)

Vậy m=`7/4` thì A đạt GTNN

1: \(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\left(2m-1\right)\)

\(=4m^2-8m+4=\left(2m-2\right)^2>=0\forall m\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm

2: \(A=\left(x_1+x_2\right)^2-7x_1x_2\)

\(=\left(-2m\right)^2-7\left(2m-1\right)\)

\(=4m^2-14m+7\)

\(\Delta'=m^2-\left(m^2-m+2\right)=m-2\)

Pt đã cho có 2 nghiệm khi \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow m\ge2\)

b.

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-m+2\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)\)

\(A=m^2-m+2-4m\)

\(A=m^2-5m+2=\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{17}{4}\ge-\dfrac{17}{4}\)

\(A_{min}=-\dfrac{17}{4}\) khi \(m=\dfrac{5}{2}\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2+4>0\) ; \(\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(P=\left|\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|\ge0\)

\(\Rightarrow P_{min}=0\) khi \(x_1+x_2=0\Leftrightarrow m=-1\)

Đề là yêu cầu tìm max hay min nhỉ? Min thế này thì có vẻ là quá dễ

\(\Delta'=m-1\ge0\Rightarrow m\ge1\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-m+1\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^3+x_2^3-2\left(x_1+x_2\right)\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-2\left(x_1+x_2\right)\)

\(=8m^3-3.2m\left(m^2-m+1\right)-4m\)

\(=2m^3+6m^2-10m\)

\(=2\left(m^3+3m^2-5m+1\right)-2\)

\(=2\left(m-1\right)\left[\left(m^2-1\right)+4m\right]-2\)

Do \(m\ge1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1\ge0\\\left(m^2-1\right)+4m>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(m-1\right)\left[\left(m^2-1\right)+4m\right]\ge0\)

\(\Rightarrow A\ge-2\)

\(A_{min}=-2\) khi \(m=1\)

\(x^2-2\left(m+1\right)x+3\left(m+1\right)-3=0\)

\(x^2-2nx+3n+3=\left(x-n\right)^2-\left(n^2-3n+3\right)=0\)\(\left(x-n\right)^2=\left(n-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}>0\forall n\) vậy luôn tồn tại hai nghiệm

\(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{n-\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\\x_2=\frac{n+\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\end{cases}}\)

a) \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{4x_1-x_2}{x_1}\Leftrightarrow\frac{x_1^2-4x_1x_2+x_2^2}{x_1x_2}=0\)

\(x_1x_2=n^2-\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}=\frac{4n^2-4n^2+12n-9-3}{4}=3n-3\)

với n=1 hay m=0 : Biểu thức cần C/m không tồn tại => xem lại đề

1.

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm $M(1;-1)$ nên $a+b=-1.$

và đi qua điểm $N(2;1)$ nên $2a+b=1$.

Ta có hệ phương trình \left\{ \begin{aligned} & a + b = -1\\ & 2a + b = 1\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a = 2\\ & b = -3\\ \end{aligned}\right.{​a+b=−12a+b=1​⇔{​a=2b=−3​.

Vậy hàm số cần tìm là $y=2x-3.$

2.a

Với $m=4$, phương trình $(1)$ trở thành: x^2 - 8x + 15 = 0x2−8x+15=0.

$\Delta =1>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1 = 3x1​=3 và x_2 = 5x2​=5.

2.b.

Ta có \Delta ' = (-m)^2 - 1.(m^2-m+3) = m^2 - m^2 + m -3 = m - 3Δ′=(−m)2−1.(m2−m+3)=m2−m2+m−3=m−3.

Phương trình (1) có hai nghiệm x_1x1​, x_2x2​ khi \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 3.Δ′≥0⇔m≥3.

Với $m\ge 3$, áp dụng định lí Vi-et \left\{ \begin{aligned} & x_1 + x_2 = 2m\\ & x_1x_2 = m^2 - m + 3\\ \end{aligned}\right.{​x1​+x2​=2mx1​x2​=m2−m+3​

Ta có: P = m^2 - m + 3 - 2m = m(m-3) + 3P=m2−m+3−2m=m(m−3)+3.

Vì $m\ge 3$ nên $m(m-3)\ge 0$ suy ra $P\ge 3$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m=3$