ghse5uye5bvs

Đặt \(k=\frac{y+z-x}{7}=\frac{z+x-y}{11}=\frac{x+y-z}{5}=\frac{xyz}{3}\)

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau:

\(k=\frac{y+z-x}{7}=\frac{z+x-y}{11}=\frac{y+z-x+z+x-y}{7+11}=\frac{2z}{18}=\frac{z}{9}\)

=> z=9k

Tương tự:

\(k=\frac{x+y-z}{5}=\frac{z+x-y}{11}=\frac{2x}{16}=\frac{x}{8}\)

=> x=8k

\(k=\frac{x+y-z}{5}=\frac{y+z-x}{7}=\frac{2y}{12}=\frac{y}{6}\)

=> y=6k

Ta có: \(\frac{xyz}{3}=k\Rightarrow\frac{6k.9k.8k}{3}=k\Leftrightarrow144k^3-k=0\Leftrightarrow k\left(144k^2-1\right)=0\)

+) TH1: k=0 ta có: x=y=z=0

+) Th2: \(144k^2-1=0\Leftrightarrow k^2=\frac{1}{144}=\frac{1}{12^2}\Leftrightarrow k=\pm\frac{1}{12}\)

Với \(k=\frac{1}{12}\).

Ta có: \(z=9k=\frac{9}{12}=\frac{3}{4};x=8k=\frac{8}{12}=\frac{2}{3};y=6k=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)

Với k=-1/12 Em tự tính nhé

Ta có: \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\)

nên \(\dfrac{x}{10}=\dfrac{y}{15}\)(1)

Ta có: \(\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{4}\)

nên \(\dfrac{y}{15}=\dfrac{z}{12}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{x}{10}=\dfrac{y}{15}=\dfrac{z}{12}\)

Đặt \(\dfrac{x}{10}=\dfrac{y}{15}=\dfrac{z}{12}=k\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=10k\\y=15k\\z=12k\end{matrix}\right.\)

Ta có: xyz=1800

\(\Leftrightarrow1800k^3=1800\)

\(\Leftrightarrow k^3=1\)

\(\Leftrightarrow k=1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=10\cdot1=10\\y=15\cdot1=15\\z=12\cdot1=12\end{matrix}\right.\)

Ko mất tính tổng quát, giả sử \(0< x\le y\le z\)

\(\Leftrightarrow xyz=x+y+z\le3z\\ \Leftrightarrow xyz-3z\le0\\ \Leftrightarrow z\left(xy-3\right)\le0\\ \Leftrightarrow xy\le3\)

Mà \(0< x\le y\Leftrightarrow xy>0\Leftrightarrow xy\in\left\{1;2;3\right\}\)

Với \(xy=1\Leftrightarrow x=y=1\Leftrightarrow z+1+1=z\left(\text{vô nghiệm}\right)\)

Với \(xy=2\Leftrightarrow x=1;y=2\left(x\le y\right)\)

\(\Leftrightarrow3+z=2z\\ \Leftrightarrow z=3\)

Với \(xy=2\Leftrightarrow x=1;y=3\left(x\le y\right)\)

\(\Leftrightarrow1+3+z=3z\\ \Leftrightarrow2z=4\\ \Leftrightarrow z=2\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right)\) và các hoán vị