Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ AB( M ko trùng A và B)
a, Chứng minh rằng MD la đường phân giác của góc BMC
b, Cho AD=2R. Tính diện tích tứ giác ABDC theo R
c, Gọi K là giao điểm của AB và MD, H là giao điểm của AD và MC. Chứng minh rằng 3 đường AM,BD,HK đồng quy
a/ Trọng tâm của tam giác cũng là tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.
ΔABC đều, AD là đường kính cũng là tia phân giác của góc BAC
⇒ góc BAD = góc DAC ⇒ cung BD = cung DC
⇒ góc BMD = góc DMC ⇒ MD là tia phân giác góc BMC.
b/
ΔACD vuông tại C (do nội tiếp dường tròn đường kính AD = 2R) có góc DAC =1/2 góc BAC = 30º nên là nửa tam giác đều ⇒ AC = R√3, DC = R
Diện tích ΔACD: 1/2AC*CD = 1/2R√3*R = √3R² /2
ΔACD = ΔABD (c.g.c) ⇒ dthtABCD =2dtΔACD = 2*√3R² /2 = √3R²
c/
Gọi I là giao điểm của AM và DB
góc ABD = góc AMD = 90º (2góc nội tiếp đường tròn đk AD)
⇒ AB, DM là hai đường cao của ΔIAD
K là trực tâm của tam giác nên IK ⊥ AD (1)
AC=AB ⇒ cung AC = cung AB ⇒ góc AMC = góc ADB hay góc AMH = góc HDI
góc AMH kề bù với góc HMI nên góc HMI + góc HDI = 180º
⇒ tứ giác IMHD nội tiếp đường tròn đường kính ID.
⇒ góc IMD = góc IHD = 90º
⇒ IH ⊥ AD (2)
Từ (1),(2) ⇒ I, H, K thẳng hàng
hay ba đường thẳng AM, BD, HK đồng quy tại I.
\(\widehat{BMD}=\widehat{BAD}\) (cùng chắn cung BD)
Tam giác ABD vuông tại B (do AD là đường kính)
\(\Rightarrow\widehat{BAD}=90^0-\widehat{BDA}\)
Mà \(\widehat{BDA}=\widehat{BCA}=60^0\) (cùng chắn cung AB và tam giác ABC đều nên \(\widehat{BCA}=60^0\))
\(\Rightarrow\widehat{BMD}=\widehat{BAD}=90^0-60^0=30^0\)
AB=AC
OB=OC
=>AO là trug trực của BC
=>AD là trung trực của BC
=>AD là phân giác của góc BAC
=>góc BAD=1/2*60=30 độ
=>góc BMD=30 độ
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD.Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ AB(M không trùng với các điểm A và B).
a) Tính góc BMD
AB=AC
OB=OC
=>AO là trug trực của BC
=>AD là trung trực của BC
=>AD là phân giác của góc BAC
=>góc BAD=1/2*60=30 độ
=>góc BMD=30 độ
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD.Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ AB(M không trùng với các điểm A và B). a) Tính góc BMD
AB=AC
OB=OC
=>AO là trug trực của BC
=>AD là trung trực của BC
=>AD là phân giác của góc BAC
=>góc BAD=1/2*60=30 độ
=>góc BMD=30 độ
Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O), tia AO cắt đường tròn (O) tại D. Lấy M trên cung nhỏ AB. Dây MD cắt dây BC tại I. Trên tai đối của MC lấy điểm E sao cho ME = MB. Chứng minh:
a) MD là phân giác của góc BMC
b) MI song song BE
c) Gọi giao điểm của đường tròn tâm D, bán kính DC với MC là k. Chứng minh rằng tứ giác DCKI nội tiếp
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AI điểm M tùy ý trên cung nhỏ ACq(Mkhác A,M khác C)kẻ tia Mx là tia đối của tia MC.
A)Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD= MC, Gọi K là giao điểm thứ hai của DC với đường tròn tâm O .chứng minh rằng tứ giác MIKD là hình bình hành
B) Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì D di động trên cung tròn cố định
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O , đường kính AI điểm M tùy ý trên cung nhỏ AC(M khác A, M khác C) .Kẻ tia Mx là tia đối của tia MC .
1) Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD= MC, Gọi K là giao điểm thứ hai của DC với đường tròn tâm O . chứng minh rằng tứ giác MIKD là hình bình hành
3) Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì D di động trên cung tròn cố định
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O , đường kính AI. Điểm M tùy ý trên cung nhỏ AC (M khác A, M khác C) . Kẻ tia Mx là tia đối của tia MC.
1) Cứng minh rằng MA là tia phân giác của tia BMx.
2) Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD - MC , gọi K là giao điểm thứ hai của dc với đường tròn tâm (O) . Chứng minh rằng tứ giác MIKD là hình bình hành.
3) Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì D di động trên cung tròn cố định.
a. Do ABCM là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{AMx}=\widehat{ABC}\)
Lại do tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
Mà \(\widehat{ACB}=\widehat{AMB}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Vậy nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMx}\) hay MA là phân giác góc \(\widehat{BMx}.\)
b. Do tam giác ABC cân tại A nên AI là phân giác góc BAC. Vậy thì cung BI = cung CI hay góc \(\widehat{BMI}=\widehat{IKC}\)
Từ đó suy ra \(\widehat{DMI}=\widehat{IKD}\) (Cùng phụ với hai góc trên)
Lại có do MD = MC \(\Rightarrow\widehat{MDK}=\widehat{MCK}=\widehat{MIK}\)
Tứ giác DMIK có các góc đối bằng nhau nên nó là hình bình hành.
c. Do MA là phân giác góc BMx nên MA thuộc đường phân giác góc DMC.
Lại có MD = MC nên MA chính là đường trung trực của DC.
Vậy thì DA = AC, hay D luôn thuộc đường tròn tâm A, bán kính AC.
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O.
Gọi M là một điểm trên cung nhỏ B C ⏜ (M khác B; C và AM không đi qua O).
Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M.
2). Đường tròn đường kính MP cắt MD tại điểm Q khác M. Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN.
2) Tứ giác APQD nội tiếp ( P Q D ^ = M A D ^ = 90 0 ),
suy ra P A Q ^ = P D Q ^ = N D M ^ (3).
Xét (O), ta có N D M ^ = N A M ^ (4).
Từ (3) và (4) P A Q ^ = N A P ^ , suy ra AP là phân giác của góc N A Q ^ (*).
Xét (O), ta có A N D ^ = A M D ^ .
Xét đường tròn đường kính MP có Q M P ^ = Q N P ^ ⇒ A N P ^ = Q N P ^ , nên NP là phân giác của góc ANQ (**).
Từ (*) và (**), suy ra P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ANQ