chứng minh bất đẳng thức
\(x^2+y^2+z^2\ge2\left(xy-xz+yz\right)\)
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh đẳng thức
\(\left(x+y+z\right)-x^2-y^2-z^2=2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(VP=\left(x+y+z\right)^2-x^2-y^2-z^2\)
\(=x^2+2xy+2xz+y^2+2yz+z^2-x^2-y^2-z^2\)
\(=2xy+2yz+2xz=2\left(xy+yz+xz\right)=VP\)
Suy ra điều phải chứng minh
Đúng 0
Bình luận (0)
x,y,z>0. CMR \(x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Từ bất đẳng thức trên + x+y+z=1 làm sao để suy ra \(9xyz\ge4\left(xy+yz+zx\right)-1\)
chứng minh bất đẳng thức:
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
(x-y)^2 >= 0 ; (y-z)^2 >= 0 ; (x-z)^2 >= 0
=>(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2 >= 0
=>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz >= 0
=>2x^2+2y^2+2z^2 >= 2xy+2yz+2xz
=>x^2+y^2+z^2 >= xy+yz+xz
Đúng 0
Bình luận (0)
nhần đổi của về rùi chuyển vế bạn sẽ dc (x-y)^2 + (y-z)^2 + (Z-X) ^2 >=0 dáu = xảy ra khi x=y=z , xong nhá
Đúng 0
Bình luận (0)
giả sử x^2+y^2+z^2>/xy+yz+xz
<=> 2x^2+2y^2+2x^2>/ 2xy+2yz+2xz (nhân 2 vế cho 2)
<=> (x^2-2xy+y^2)+(x^2-2xz+z^2)+(y^2-2yz+z^2)>/0
<=> (x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2>/0 (đúng)
vậy x^2+y^2+z^2>/xy+yz+xz
Đúng 0
Bình luận (0)
chứng minh đẳng thức sau
a,\(\frac{x^2+3xy}{x^2-9y^2}+\frac{2x^2-5xy-3y^2}{6xy-x^2-9y^2}=\frac{x^2+xz+xy+yz}{3yz-x^2-xz+3xy}\)
b,\(\frac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\frac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}\)
Cho x+y+z=3 . Chứng minh bất đẳng thức
x2 +y2 +z2 +xy+xz+yz lớn hơn hoặc bằng 6
\(2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\right)=\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z+x\right)^2\)
\(=\left(3-x\right)^2+\left(3-y\right)^2+\left(3-z\right)^2\)
\(=27-6\left(x+y+z\right)+x^2+y^2+z^2\)
\(=9+x^2+y^2+z^2\)
Dễ dàng CM được \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)
=>\(2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\right)\ge12\)
=> dpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có: \(2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\right)\)
\(=2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2xz\)
\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+2yz+z^2\right)+\left(x^2+2xz+z^2\right)\)
\(=\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(x+z\right)^2\)(1)
Mà \(x+y+z=3\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=3-z\\y+z=3-x\\x+z=3-y\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(1\right)=\left(3-z\right)^2+\left(3-x\right)^2+\left(3-y\right)^2\)
\(=9-6z+z^2+9-6x+x^2+9-6y+y^2\)
\(=27-6\left(x+y+z\right)+x^2+y^2+z^2\)
\(=9+x^2+y^2+z^2\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số:
\(x^2+y^2+z^2=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}+\frac{z^2}{1}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{1+1+1}=\frac{3^2}{3}=3\)
\(\Rightarrow9+x^2+y^2+z^2\ge12\)
hay \(2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\right)\ge12\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\ge6\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh bất đẳng thức sau:
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\times\left(x+y+z\right)\)
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3-2x-2y-2z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có : \(x^2+1\ge2x\) (1)
\(y^2+1\ge2y\) (2)
\(z^2+1\ge2z\) (3)
Cộng các vế của (1) (2) (3) ta được :
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Xem thêm câu trả lời
Cho \(x^2+y^2+z^2=10\) chứng minh
\(P=\left(xy+yz+xz\right)^2+\left(x^2-yz\right)^2+\left(y^2-xz\right)^2+\left(z^2-xy\right)^2\)
Chứng minh đẳng thức :
\(\left(x+y+z\right)^2-x^2-y^2-z^2=2\left(xy+yz+zx\right)\)
Có: \(\left(x+y+z\right)^2-x^2-y^2-z^2\)
\(=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz-x^2-y^2-z^2\)
\(=2xy+2yz+2xz\)
\(=2\left(xy+yz+xz\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\left[\left(x+y\right)+z\right]^2=\left[\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)z+z^2\right]=x^2+2xy+y^2+2xz+2yz+z^2\)\(+z^2\)
Thay vào: x^2+y^2+z^2+ 2xy+2yz+2xz - x^2 - y^2 - z^2= 2(xy+yz+xz) (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh đẳng thức sau: \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)+3xyz\)
Ta có:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz\)
\(=\left[\left(x+y\right)^3+z^3\right]-\left[3xy\left(x+y\right)+3xyz\right]\)
\(=\left(x+y+z\right)^3-3\left(x+y+z\right)\left(x+y\right).z-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yx-3xz-3yz-3xy\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
=> \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)+3xyz\)