Gọi G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)
\(\overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MG}=0\)
\(\Rightarrow\) M thuộc đường tròn đường kính AG
Bán kính: \(R=\dfrac{1}{2}AG=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
Cho tam giác đều ABC . Gọi M,N ,P lần lượt là các điểm thoả mãn vectơ BM = k vectơ BC , 4 vectơ AN = 3 vectơ AB , 3 vectơ AP = 2 vectơ AC . a, Biểu diễn vectơ AM theo hai vectơ AB , AC . b, Tìm k để hai đường thẳng AM , NP vuông góc với nhau.
a) Ta có:
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\)
\(=\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BC}\)
\(=\overrightarrow{AB}+k\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)
\(=\left(1-k\right)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}\)
b) \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AN}\)
\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\)
Để \(AM\perp NP\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow\left[\left(1-k\right)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}\right]\left(-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(k-1\right)}{4}AB^2+\dfrac{2k}{3}AC^2+\dfrac{2\left(1-k\right)}{3}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\dfrac{3k}{4}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(k-1\right)}{4}AB^2+\dfrac{2k}{3}AB^2+\dfrac{1-k}{3}AB^2-\dfrac{3k}{8}AB^2=0\)
\(\Leftrightarrow AB^2\left[\dfrac{3\left(k-1\right)}{4}+\dfrac{2k}{3}+\dfrac{1-k}{3}-\dfrac{3k}{8}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow18\left(k-1\right)+16k+8\left(1-k\right)-9k=0\left(AB>0\right)\)
\(\Leftrightarrow17k=10\)
\(\Leftrightarrow k=\dfrac{10}{17}\)
Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi B', A' lần lượt là điểm đối xứng với B và A qua O. M là trung điểm của BC
a) Cmr: Vectơ B'C = Vectơ AH
b) Cmr: Vectơ HM = Vectơ MA
c) AH cắt BC tại I và cắt (O) tại K. Cmr: Vectơ IH = Vectơ KI
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=12\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BC}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=12\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BC}=12\)
\(\Rightarrow BC^2=12\Rightarrow BC=2\sqrt{3}\)
\(\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MC}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}\right)\Rightarrow\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\)
\(k\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}\Rightarrow\left(1-k\right)\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{1-k}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{1-k}\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{DN}=0\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right)\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AN}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\right)\left(\dfrac{1}{1-k}\overrightarrow{AB}+\dfrac{k}{1-k}\overrightarrow{AD}\right)=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1-k}AB^2+\dfrac{k}{4\left(1-k\right)}AD^2=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1-k}+\dfrac{k}{4\left(1-k\right)}=0\Leftrightarrow k=-4\)
Đáp án B
cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trren ti đối của tia CB láy điểm N sao cho BM =CN.
a) CMR: AMN là tam giác cân
b)kẻ BH vuông góc với AM (H thuộc AM) kẻ CK vuông góc với an (K thuộc AN). CM: BH=CK
c) CM: AH= AK
d) gọi O là giao điểm của BH và KC. OBC là tam giác gì?
e) khi góc A =60 độ, và BM=CN=BC.
Hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và cho biết OBC là tam giác gì
a) \(\Delta ABC\)cân tại \(A\)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) ; \(AB=AC\)
mà \(\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^0\) (kề bù)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
Xét: \(\Delta ABM\)và \(\Delta ACN\)có:
\(AB=AC\)(cmt)
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(cmt)
\(BM=CN\)(gt)
suy ra: \(\Delta ABM=\Delta ACN\)(c.g.c)
\(\Rightarrow\)\(AM=AN\)(cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow\)\(\Delta AMN\)cân tại \(A\)
Cho tam giác ABC có diện tích là 450 cm2. Gọi M,N là trung điểm các cạnh BC và AB, P là điểm nằm trên AC sao cho AP = 1/3 AC, AM cắt NP tại K, nối K với B và C.
a) Hãy so sánh diện tích tam giác ABK và diện tích tam giác ACK?
b) Hãy tính diện tích tam giác AKP?
Các bạn giúp mình giải với. Thank all ^^
Bài 1 : Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Xác định và tính theo a độ dài vectơ BM + vectơ BA
Gọi O là trung điểm của AM
BM=BC/2=a/2
\(\Leftrightarrow AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow MO=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)
Xét ΔOMB vuông tại M có
\(BO^2=OM^2+BM^2\)
\(=a^2\cdot\dfrac{3}{16}+a^2\cdot\dfrac{1}{4}=a^2\cdot\dfrac{7}{16}\)
\(\Leftrightarrow BO=\dfrac{a\sqrt{7}}{4}\)
Xét ΔBMA có BO là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BA}=2\cdot\overrightarrow{BO}\)
\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BA}\right|=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}\)