Lời giải:
a. 

Gọi ptđt $BC$ có dạng: $y=ax+b$.

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} -1=a(-1)+b\\ 9=4a+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=1\end{matrix}\right.\)

Vậy ptđt $BC$ có dạng $y=2x+1$

b. Gọi giao của $2x-y-1=0$ và $x-2y+8=0$ là $I(x_0,y_0)$

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} 3x_0-y_0-1=0\\ x_0-2y_0+8=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0=2\\ y_0=5\end{matrix}\right.\)

Thay kết quả này vô ptđt $BC$ ta thấy:

$2x_0+1=2.2+1=5=y_0$ nên $I(x_0,y_0)\in BC$

Vậy 3 đt đồng quy (đpcm)

a: Gọi phương trình đường thẳng BC là y=ax+b

Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}-a+b=-1\\4a+b=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-5a=-10\\b-a=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=-1+a=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: y=2x+1

b: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 3x-y-1=0 và x-2y+8=0 là:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y=1\\x-2y=-8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-y=1\\3x-6y=-24\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5y=25\\x-2y=-8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=5\\x=-8+2y=2\end{matrix}\right.\)

Thay x=2 và y=5 vào y=2x+1, ta được:

\(5=2\cdot2+1\left(đúng\right)\)

Vậy: Ba đường thẳng này đồng quy

post ít một thôi

b) \(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

\(=1+\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(=1+3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\)

Rồi dùng Cauchy

Dấu = khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

a)Ta có

   a+b+c=2

=> b+c=2-a

   ab+bc+ac=1

=>bc=1-a(b+c)

        =1-a(2-a)

        =\(a^2-2a+1\)

Áp dụng BĐT (x+y)2\(\ge4xy\)ta co

 \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)

=>\(\left(2-a\right)^2\ge4\left(a^2-2a+1\right)\)

=> \(3a^2-4a\le0\)

=> \(0\le a\le\frac{4}{3}\)

b,c lam tuong tu 

tớ không hiểu phần b, có thể làm chi tiết hơn k

Bài 1 : 

Bât đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

( xy+yz + zx )(9 + x²y² +z²y² + x²z² ) \(\ge\)36xyz 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 

xy+ yz + zx \(\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)           ( 1) 

Và 9 + x²y² + z²y² + x²z² \(\ge12\sqrt[12]{x^4y^4z^4}\)

hay 9+ x²y² + z²y²+ x²z² \(\ge12\sqrt[3]{xyz}\)                (2) 

Do các vế đều dương ,từ (1) và (2) suy ra :

( xy + yz +zx )( 9+ x²y² + z²y² + x²z² ) \(\ge36xyz\left(đpcm\right)\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y  =z = 1 

Bài 2: 

\(\hept{\begin{cases}a;b;c>0\\ab+bc+ca=1\end{cases}}\)

Có : \(\hept{\begin{cases}\sqrt{1+a^2}\ge\sqrt{2a}\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}a\\\sqrt{1+b^2}\ge\sqrt{2b}\Rightarrow\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}b\\\sqrt{1+c^2}\ge\sqrt{2c}\Rightarrow\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}c\end{cases}}\)

=> \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c\right)\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)

=> \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a =b =c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

1.

Do \(0\le a;b;c\le1\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-abc-a-b-c+ab+bc+ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1-abc\le1\)

Mặt khác \(0\le a;b;c\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2\le b\\c^3\le c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le a+b+c-ab-bc-ca\le1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị

2.

\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)

\(P=\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}+\frac{y}{2}+\frac{8}{y}+\frac{3x}{2}+\frac{3y}{2}\)

\(P=\left(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\right)+\frac{3}{2}\left(x+y\right)\)

\(P\ge2\sqrt{\frac{18x}{2x}}+2\sqrt{\frac{8y}{2y}}+\frac{3}{2}.6=19\)

\(P_{min}=19\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\end{matrix}\right.\)